Долоо хоног бүрийн ЛХАГВА гарагт 20.00 цагаас
ЭЕШ | УРАЛДААНТ СОРИЛ
явагдаж байна.
#8x100 математик сургалтын төв
ВИЕТИЙН ТЕОРЕМ
ОНОЛЫН ХЭСЭГ

Виетийн теорем нь олон зэргийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн хамаарлыг тайлбарладаг теорем бөгөөд бодит болон комплекс шийдүүдтэй хэдэн ч зэргийн тэгшитгэлийн хувьд биелэнэ. Гэхдээ, ЕБС-н хичээлд квадрат тэгшитгэлийн хувьд мэдлэг олгоно.

Теорем. (Виет) $ax^2+bx+c=0$ тэгшитгэл $2$ бодит шийдтэй бөгөөд тэдгээр нь $x_1,\ x_2$ бол $$\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac ba\\ x_1x_2=\dfrac ca\end{cases}$$ байна.

$x^2+px+q=0$ эмхтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $$\begin{cases}x_1+x_2=-p\\ x_1x_2=q\end{cases}$$ байна.

Баталгаа. $ax^2+bx+c=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ гэж задрахыг өмнөх хичээлээр үзсэн билээ.

Тэнцэтгэлийн баруун талыг задалж үржүүлвэл $$a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)$$ болно. Зүүн талаас $a$-г хаалтнаас гаргавал $$a\left(x^2+\dfrac ba x+\dfrac ca\right)$$ болох бөгөөд эдгээрээс харвал $x_1+x_2=-\dfrac ba,\ x_1x_2=\dfrac ca$ болох нь батлагдана.

ЖИШЭЭ

Жишээ 1. $2x^2-3x-4=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг ол.

Энэ тэгшитгэлийн дискреминант $0$-ээс их учир 2 бодит шийдтэй. Тэдгээрийн нийлбэр нь виетийн теорем ёсоор $x_1+x_2=-\dfrac{-3}2=\dfrac 32$ байна. Харин үржвэр нь $x_1x_2=\dfrac{-4}2=-2$ байна.

Жишээ 2. $x^2+3x-11=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэрийг ол.

Шийдийг олж бодвол $x_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{53}}2$ болох ба $$\left(\dfrac{-3-\sqrt{53}}2\right)^2+\left(\dfrac{-3+\sqrt{53}}2\right)^2$$ ийм илэрхийллийн утгыг олох ёстой болно. Багагүй ажиллагаа, цаг хугацаа зарцуулна.

Харин, Виетийн теоремоор бодвол маш хялбархан байдаг.

$\begin{cases}x_1+x_2=-3\\x_1x_2=-11\end{cases}$ байна. Бидний олох зүйл бол $x_1^2+x_2^2$ юм.

$$x_1^2+x_2^2=(\underbrace{x_1+x_2}_{-3})^2-2\underbrace{x_1x_2}_{-11}=$$

$$(-3)^2-2\cdot(-11)=9+22=31$$ гэж олдоно.

Жишээ 3. $x^2+2x-5=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $x_1^3+x_2^3$-н утгыг ол.

Виетийн теоремоор $\begin{cases}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-5\end{cases}$ байна. 

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=$$

$$=(x_1+x_2)(\underbrace{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}_{(x_1+x_2)^2}-3x_1x_2)=$$

$$=(\underbrace{x_1+x_2}_{-2})((\underbrace{x_1+x_2}_{-2})^2-3\underbrace{x_1x_2}_{-5})=$$

$$=-2\cdot((-2)^2-3\cdot(-5))=-2\cdot19=-38.$$

Жишээ 4. $x^2-13x+q=0$ тэгшитгэлийн нэг шийд $12.5$ бол нөгөө шийд болон $q$ коэффициентийг ол.

Виетийн теоремоор $\begin{cases}x_1+x_2=13\\x_1x_2=q\end{cases}$ байна. $x_1=12.5$ гэж үзвэл $$12.5+x_2=13\Rightarrow x_2=0.5$$ болно. Үүнийг хоёр дахь тэнцэтгэлд орлуулвал 

$$12.5\cdot0.5=q\Rightarrow q=6.25\mbox{ байна.}$$

ДААЛГАВАР
  1. Дараах тэгшитгэлүүдийн шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг ол.$$2x^2-9x-10=0$$ $$5x^2+12x+7=0$$ $$-z^2+z=0$$
  2. Дараах тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэрийг ол. $$3x^2-4x-11=0$$
  3. $2x^2+4x-12=0$ тэгшитгэлийн хувьд дараах утгуудыг ол. $$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$$ $$x_1^2x_2+x_1x_2^2$$ $$x_1^2+x_2^2$$ $$(x_1-x_2)^2$$ $$x_1^3+x_2^3$$ $$$$
  4. $x^2+x+c=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэр $6$ бол $c$-г ол.
  5. $x^2+x-a^2-2a=0$ тэгшитгэл тэгээс ялгаатай, ижил тэмдэгтэй хоёр шийдтэй байх $a$ параметрийн утгыг ол.
Хэрвээ, чи хичээвэл юунд ч хүрч чадна...
- 8x100
Сэлүүн Санаа ХХК-ийн дэргэдэх 8x100 сургалтын төв нь үйл ажиллагаагаа эхлэсний 5 жилийн ойгоо тохиолдуулан олон арга хэмжээ зохиож байгаагийн нэг нь энэ цахим сургалтын систем болно.

Ирээдүй, хойч үеийн эзэд болох сурагч та бүхнийг хүссэн мэргэжилээ саадгүй сонгож, итгэл үнэмшил дүүрэн сурч, илүү өндөр мэдлэгтэй, чадварлаг боловсон хүчин болж эх орондоо зүтгээсэй гэсэн хүслийн дор ийнхүү ажиллаж байна.