The only way to learn MATHEMATICS
is to do MATHEMATICS.
- Paul Halmos -
Тодорхойлолт 1. Аливаа бодит тооны хувьд түүнээс үл хэтрэх хамгийн их бүхэл тоог уг тооны бүхэл хэсэг гээд $[x]$ гэж тэмдэглэнэ.
Бүхэл тооны бүхэл хэсэг нь өөрөө байх нь ойлгомжтой. Харин бутархай тооны хувьд тоон шулуун дээр дүрслэвэл $x$ тооноос үл хэтрэх тоонууд нь шар өнгөөр тодроно. Эдгээрээс хамгийн их бүхэл тоо буюу улаан сумаар заагдсан тоо нь $x$ тооны бүхэл хэсэг буюу $[x]$ байна.
Өөрөөр хэлбэл, Аливаа тооны бүхэл хэсэг гэдэг нь тоон шулуун дээр түүний зүүн гар талын хамгийн ойрхон тоо нь байна.
Жишээлбэл, $[1.23]=1$, $[3.87]=3$, $[-3.4]=-4$, $[-0.65]=-1$ байна.
Тодорхойлолт 2. Аливаа бодит тооны хувьд уг тооноос уг тооны бүхэл хэсэг хүртэлх зайг уг тооны бутархай хэсэг гээд $\{x\}$ гэж тэмдэглэнэ.
Зурагт үзүүлсэн шар өнгөөр тодорсон хэрчмийн урт нь уг тооны бутархай хэсэг байна.
Жишээлбэл, $\{1.83\}=0.83$, $\{-2.4\}=0.6$, $\{-0.65\}=0.35$ байна.
Дээрх тодорхойлолтуудаас дараах чанаруудыг гаргаж болно. Аливаа бодит $x$ тооны хувьд $$[x]\le x,\ 0\le \{x\}< 1,$$ $$x=[x]+\{x\}$$ байна.
Жишээ 1. $[1.4]+[2.23]+[-2.5]$ илэрхийллийн утгыг ол. Энд $[x]$ нь $x$ тооны бүхэл хэсэг.
$$\underbrace{[1.4]}_1+\underbrace{[2.23]}_2+\underbrace{[-2.5]}_{-3}=0.$$
Жишээ 2. $\{2.3\}+\{-45.6\}-\{-8.9\}$ илэрхийллийн утгыг ол. Энд $\{x\}$ нь $x$ тооны бутархай хэсэг.
$$\underbrace{\{2.3\}}_{0.3}+\underbrace{\{-45.6\}}_{0.4}-\underbrace{\{-8.9\}}_{0.1}=0.6$$
Жишээ 3. (ЭЕШ2012) Дараах илэрхийллийн утгыг ол. $$\{-3.45\}+[\sqrt{18}]-\left[\dfrac83\right]+\{4.45\}$$
$$\underbrace{\{-3.45\}}_{0.55}+[\sqrt{18}]-\left[\dfrac83\right]+\underbrace{\{4.45\}}_{0.45}=$$ $$=0.55+\underbrace{[4.24...]}_4-\underbrace{[2.(6)]}_2+0.45=3.$$
Жишээ 4. $\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}$ илэрхийллийн бүхэл хэсгийн ол.
Хосмогоор нь үржүүлвэл $$\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\cdot\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1}=$$ $$=\dfrac{(\sqrt2+1)^2}{2-1}=2+2\sqrt2+1=$$ $$=3+2\sqrt2\approx 5.83$$ болно. Иймд $$\left[\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\right]=5.$$
Жишээ 5. $\sin\dfrac{2023\pi}6-7$ тооны бүхэл хэсгийг ол. Энэ бодлогыг 11-ээс доош ангийн сурагчид бодох хэрэггүй.
$2023=337\cdot6+1$ тул $$\sin\dfrac{2023\pi}6=\sin\left(337\pi+\dfrac{\pi}6\right)=$$ $$=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}6\right)=-\sin\dfrac\pi6=-\dfrac12$$ байна. Иймд $$\underbrace{\sin\dfrac{2023\pi}6}_{-0.5}-7=-7.5$$ болно. Иймд бүхэл хэсэг нь $-8$ юм.
Жишээ 6. $[3x-1]=7$ тэгшитгэлийг бод. Энд $[x]$ нь $x$-ийн бүхэл хэсэг.
Өгсөн нөхцөлөөс $$7\le 3x-1< 8$$ байх нь ойлгомжтой бөгөөд энэ тэнцэтгэл бишээ бодвол $$8\le 3x< 9\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\dfrac83\le x< 3.$$
