The only way to learn MATHEMATICS
is to do MATHEMATICS.
- Paul Halmos -
Виетийн теорем.
$ax^2+bx+c=0$ тэгшитгэл 2 бодит шийдтэй бөгөөд тэдгээр нь $x_1,\ x_2$ бол $$\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac ba\\ x_1x_2=\dfrac ca\end{cases}$$ байна.
$x^2+px+q=0$ эмхтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $$\begin{cases}x_1+x_2=-p\\ x_1x_2=q\end{cases}$$ байна.
Баталгаа. $ax^2+bx+c=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ гэж задрахыг өмнөх хичээлээр үзсэн билээ.
Тэнцэтгэлийн баруун талыг задалж үржүүлвэл $$a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)$$ болно. Зүүн талаас $a$-г хаалтнаас гаргавал $$a\left(x^2+\dfrac ba x+\dfrac ca\right)$$ болох бөгөөд эдгээрээс харвал $x_1+x_2=-\dfrac ba,\ x_1x_2=\dfrac ca$ болох нь батлагдана.
Жишээ 1. $2x^2-3x-4=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг ол.
Энэ тэгшитгэлийн дискреминант $0$-ээс их учир 2 бодит шийдтэй. Тэдгээрийн нийлбэр нь виетийн теорем ёсоор $x_1+x_2=-\dfrac{-3}2=\dfrac 32$ байна. Харин үржвэр нь $x_1x_2=\dfrac{-4}2=-2$ байна.
Жишээ 2. $x^2+3x-11=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэрийг ол.
Шийдийг олж бодвол $x_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{53}}2$ болох ба $$\left(\dfrac{-3-\sqrt{53}}2\right)^2+\left(\dfrac{-3+\sqrt{53}}2\right)^2$$ ийм илэрхийллийн утгыг олох ёстой болно. Багагүй ажиллагаа, цаг хугацаа зарцуулна.
Харин, Виетийн теоремоор бодвол маш хялбархан байдаг.
$\begin{cases}x_1+x_2=-3\\x_1x_2=-11\end{cases}$ байна. Бидний олох зүйл бол $x_1^2+x_2^2$ юм.
$$x_1^2+x_2^2=(\underbrace{x_1+x_2}_{-3})^2-2\underbrace{x_1x_2}_{-11}=$$
$$(-3)^2-2\cdot(-11)=9+22=31$$ гэж олдоно.
Жишээ 3. $x^2+2x-5=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $x_1^3+x_2^3$-н утгыг ол.
Виетийн теоремоор $\begin{cases}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-5\end{cases}$ байна.
$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=$$
$$=(x_1+x_2)(\underbrace{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}_{(x_1+x_2)^2}-3x_1x_2)=$$
$$=(\underbrace{x_1+x_2}_{-2})((\underbrace{x_1+x_2}_{-2})^2-3\underbrace{x_1x_2}_{-5})=$$
$$=-2\cdot((-2)^2-3\cdot(-5))=-2\cdot19=-38.$$
Жишээ 4. $x^2-13x+q=0$ тэгшитгэлийн нэг шийд $12.5$ бол нөгөө шийд болон $q$ коэффициентийг ол.
Виетийн теоремоор $\begin{cases}x_1+x_2=13\\x_1x_2=q\end{cases}$ байна. $x_1=12.5$ гэж үзвэл $$12.5+x_2=13\Rightarrow x_2=0.5$$ болно. Үүнийг хоёр дахь тэнцэтгэлд орлуулвал
$$12.5\cdot0.5=q\Rightarrow q=6.25\mbox{ байна.}$$
Жишээ 5. $\alpha$ ба $\beta$ нь $x^2-x-1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд бол $$\dfrac{-2\alpha\beta^2-2\alpha^2\beta}{\beta^2+4\alpha\beta+\alpha^2}$$ илэрхийллийн утгыг ол.
Эхлээд виетийн теорем бичвэл $\alpha+\beta=1$ ба $\alpha\beta=-1$ байх бөгөөд эндээс $$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=$$ $$=(1)^2-2\cdot(-1)=3$$ гэж гарна. Одоо өгөгдсөн илэрхийллээ хялбарчлаад бодвол $$\dfrac{-2\alpha\beta^2-2\alpha^2\beta}{\beta^2+4\alpha\beta+\alpha^2}=$$ $$=\dfrac{-2\alpha\beta(\beta+\alpha)}{\beta^2+2\alpha\beta+\alpha^2+2\alpha\beta}=$$ $$=\dfrac{-2\alpha\beta(\beta+\alpha)}{(\beta+\alpha)^2+2\alpha\beta}=(*)$$ болно. Мэдээж, $\alpha+\beta=1$, $\alpha\beta=-1$ ба $\alpha^2+\beta^2=3$ тул $$(*)=\dfrac{-2\cdot(-1)\cdot(1)}{1+2\cdot(-1)}=-2$$
Жишээ 6. $x^2+(a+6)x+a+4=0$ тэгшитгэлийн хоёр язгуурын квадратын нийлбэр нь хамгийн бага байхаар $a$ параметрийн утгыг олоорой.
Виетийн теоремоор $$\begin{cases}x_1+x_2=-a-6\\ x_1x_2=a+4\end{cases}$$ байх ёстой. $$x_1^2+x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=$$ $$=(-a-6)^2-2(a+4)=$$ $$=a^2+10a+44$$ болно. Энэ илэрхийлэл дээр бүтэн квадрат ялгавал $$a^2+2\cdot 5\cdot a+25+19=$$ $$=(a+5)^2+19$$ болно. Энэ илэрхийлэл хамгийн бага утгатай байхын тулд $a+5=0$ буюу $a=-5$ байх хэрэгтэй болно. Илэрхийллийн хамгийн бага утга нь $a=-5$ үед $19$ байна.
