The only way to learn MATHEMATICS
is to do MATHEMATICS.
- Paul Halmos -
Виетийн теорем нь олон зэргийн тэгшитгэлийн шийдүүдийн хамаарлыг тайлбарладаг теорем бөгөөд бодит болон комплекс шийдүүдтэй хэдэн ч зэргийн тэгшитгэлийн хувьд биелэнэ. Гэхдээ, ЕБС-н хичээлд квадрат тэгшитгэлийн хувьд мэдлэг олгоно.
Теорем. (Виет) $ax^2+bx+c=0$ тэгшитгэл $2$ бодит шийдтэй бөгөөд тэдгээр нь $x_1,\ x_2$ бол $$\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac ba\\ x_1x_2=\dfrac ca\end{cases}$$ байна.
$x^2+px+q=0$ эмхтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $$\begin{cases}x_1+x_2=-p\\ x_1x_2=q\end{cases}$$ байна.
Баталгаа. $ax^2+bx+c=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ гэж задрахыг өмнөх хичээлээр үзсэн билээ.
Тэнцэтгэлийн баруун талыг задалж үржүүлвэл $$a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)$$ болно. Зүүн талаас $a$-г хаалтнаас гаргавал $$a\left(x^2+\dfrac ba x+\dfrac ca\right)$$ болох бөгөөд эдгээрээс харвал $x_1+x_2=-\dfrac ba,\ x_1x_2=\dfrac ca$ болох нь батлагдана.
Жишээ 1. $2x^2-3x-4=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг ол.
Энэ тэгшитгэлийн дискреминант $0$-ээс их учир 2 бодит шийдтэй. Тэдгээрийн нийлбэр нь виетийн теорем ёсоор $x_1+x_2=-\dfrac{-3}2=\dfrac 32$ байна. Харин үржвэр нь $x_1x_2=\dfrac{-4}2=-2$ байна.
Жишээ 2. $x^2+3x-11=0$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн квадратуудын нийлбэрийг ол.
Шийдийг олж бодвол $x_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{53}}2$ болох ба $$\left(\dfrac{-3-\sqrt{53}}2\right)^2+\left(\dfrac{-3+\sqrt{53}}2\right)^2$$ ийм илэрхийллийн утгыг олох ёстой болно. Багагүй ажиллагаа, цаг хугацаа зарцуулна.
Харин, Виетийн теоремоор бодвол маш хялбархан байдаг.
$\begin{cases}x_1+x_2=-3\\x_1x_2=-11\end{cases}$ байна. Бидний олох зүйл бол $x_1^2+x_2^2$ юм.
$$x_1^2+x_2^2=(\underbrace{x_1+x_2}_{-3})^2-2\underbrace{x_1x_2}_{-11}=$$
$$(-3)^2-2\cdot(-11)=9+22=31$$ гэж олдоно.
Жишээ 3. $x^2+2x-5=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1,\ x_2$ бол $x_1^3+x_2^3$-н утгыг ол.
Виетийн теоремоор $\begin{cases}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=-5\end{cases}$ байна.
$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=$$
$$=(x_1+x_2)(\underbrace{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}_{(x_1+x_2)^2}-3x_1x_2)=$$
$$=(\underbrace{x_1+x_2}_{-2})((\underbrace{x_1+x_2}_{-2})^2-3\underbrace{x_1x_2}_{-5})=$$
$$=-2\cdot((-2)^2-3\cdot(-5))=-2\cdot19=-38.$$
Жишээ 4. $x^2-13x+q=0$ тэгшитгэлийн нэг шийд $12.5$ бол нөгөө шийд болон $q$ коэффициентийг ол.
Виетийн теоремоор $\begin{cases}x_1+x_2=13\\x_1x_2=q\end{cases}$ байна. $x_1=12.5$ гэж үзвэл $$12.5+x_2=13\Rightarrow x_2=0.5$$ болно. Үүнийг хоёр дахь тэнцэтгэлд орлуулвал
$$12.5\cdot0.5=q\Rightarrow q=6.25\mbox{ байна.}$$
