Тодорхойлолт 1. Хоёр тооны ноогдворыг энэ тоонуудын харьцаа гэнэ.

Жишээлбэл: $ 3:31=\dfrac{3}{31} $ нь 3 ба 31-ийн харьцаа юм.

Тодорхойлолт 2. Хоёр харьцааны тэнцлийг пропорц гэнэ.

Жишээлбэл, тэнцүү утгатай хоёр харьцаагаар дараах байдалтай пропорц бичиж болно. $$4:3=8:6,\ \dfrac35=\dfrac{12}{20}$$ Пропорцыг бичих ерөнхий хэлбэр нь $a:b=c:d$ эсвэл $ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} $ (энд $a, d\neq 0$ байна) юм. Пропорцод орсон тоонуудыг пропорцын гишүүд гэдэг. Пропорцын $ a $ ба $ d $ тоог захын гишүүд, харин $ b $ ба $ c $ тоог дундах гишүүд гэнэ. Пропорцийн харьцаануудын утгыг буюу $$ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k $$ байх $ k $ тоог пропорционалийн коэффициент гэнэ.

Пропорцын аль нэг гишүүн нь мэдэгдэхгүй байхад түүнийг олохыг пропорц бодох гэж хэлдэг.

Пропорцын үндсэн чанар. Пропорцын захын гишүүдийн үржвэр, голын гишүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна. $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a\cdot d=b \cdot c$$ байна. Энд, $a$ ба $d$ нь тэгээс ялгаатай тоонууд.

Жишээ 1. Дараах хос харьцаанууд пропорц болж чадах уу? $$3:8\mbox{ ба }9:24$$ $$4:5\mbox{ ба }16:25$$

Эхний $3:8\mbox{ ба }9:24$ харьцаануудын хувьд захын гишүүдийн үржвэр болон голын гишүүдийн үржвэрийг авч үзвэл $$\underbrace{3\cdot24}_{72}=\underbrace{8\cdot9}_{72}$$ тул пропорц болж чадна. Харин хоёр дахь $4:5\mbox{ ба }16:25$ харьцаануудын захын болон голын гишүүдийн үржвэр $$\underbrace{4\cdot25}_{100}\neq\underbrace{5\cdot16}_{80}$$ тул харьцаа болж чадахгүй.

Жишээ 2. $ x:14=60:4 $ пропорцыг бод.

Үндсэн чанар ёсоор $$ x \cdot 4=14 \cdot 60 \Rightarrow 4x=840 \Rightarrow $$$$\Rightarrow x=840:4=210 $$ гэж олдоно.

Жишээ 3. $AB$ хэрчмийн урт $27$см байв. Уг хэрчмийг $5:4$ харьцаатай хуваасан бол урт хэрчмийн уртыг ол.

Хэрчмийг $5:4$ харьцаагаар хуваахад нийт $5+4=9$ тэнцүү хэсэгт хуваагдана. Нэг хэсгийн урт нь $$27:9=3\mbox{ см}$$ болно. Иймд $AC=15$см, $CB=12$см байна: Урт хэсэг нь $15$ см байна.

Жишээ 4. Нэгэн машин ажлаа жигд хурдтайгаар гүйцэтгэдэг бөгөөд $8$ цагийн турш ажиллаж $128$ ширхэг деталь боловсруулжээ. Ийм хурдаараа ажиллавал $7.5$ цагт нийт хэдэн ширхэг деталь боловсруулах вэ?

Машин $8$ цагт $128$ ширхэг деталь боловсруулдаг тул, нэг цагт боловсруулах деталийн тоо $$128:8=16$$ ширхэг болно. Тэгвэл $7.5$ цагт боловсруулах деталийн тоо $$16\times7.5=120$$ ширхэг болно.

Арга 2. $7.5$ цагт $x$ ширхэг деталь боловсруулдаг гэж үзээд пропорцын үндсэн чанар ашиглан бодьё. $$8:128=7.5:x\Rightarrow$$$$\Rightarrow 8\cdot x=\underbrace{128\cdot7.5}_{960}\Rightarrow x=120$$ болно.

Арга 3. Пропорцын дараах бичиглэлийг сурч аваарай. $$\begin{array}{rcl|} 8&\to&128\\ 7.5&\to& x\quad\\ \end{array}\Rightarrow x=\dfrac{128\cdot7.5}{8}=120.$$

Жишээ 5. Гурвалжны нэг өнцөг $110^\circ$ байв. Бусад хоёр өнцөг нь $3:4$ харьцаатай бол тэдгээр өнцгийг ол.

Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр $180^\circ$ байдаг тул, бусад хоёр өнцгийн нийлбэр $$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$ байна. Эдгээр өнцгийг $3:4$ харьцаагаар хуваахад нийт $3+4=7$ тэнцүү хэсэгт хуваагдана. Нэг хэсгийн хэмжээ нь $$70^\circ:7=10^\circ$$ байна. Иймд өнцгүүд нь $$3\times10^\circ=30^\circ,\qquad4\times10^\circ=40^\circ$$ болно.

Жишээ 6. Ягаан будаг гаргахын тулд улаан, цагаан будгийг $5:1$ харьцаагаар хольдог. Хэрэв нийт $60$ литр ягаан будаг хийх бол хэдэн литр улаан, хэдэн литр цагаан будаг хэрэгтэй вэ?

Улаан, цагаан будгийг $5:1$ харьцаагаар холихдоо нийт $5+1=6$ тэнцүү хэсэгт хуваана. Нэг хэсгийн хэмжээ нь $$60:6=10$$ литр байна. Иймд улаан будаг $$5\times10=50$$ литр, цагаан будаг $$1\times10=10$$ литр хэрэгтэй болно.

1. Хоёр тооны харьцаа $3:5$ бөгөөд нийлбэр нь $64$ бол эдгээр тоог ол.
2. Хоёр тооны харьцаа $7:4$ бөгөөд ялгавар нь $21$ бол эдгээр тоог ол.
3. $A:B=2:3$, $B:C=4:5$ бол $A:B:C$ харьцааг ол.
4. $x:y=5:8$ бөгөөд $y:z=12:7$ бол $x:z$ харьцааг ол.
5. Дараах пропорцуудыг бодоорой. $$ \frac{x}{18}=\frac{14}{21},\quad \frac{15}{x-2}=\frac{5}{6}. $$
6. $a:b=4:7$ бөгөөд $3a+2b=78$ бол $a$, $b$-г ол.
7. Нэг ангид хөвгүүд ба охидын тооны харьцаа $5:7$ байв. Ангид $6$ хөвгүүн шинээр нэмэгдэхэд хөвгүүд ба охидын тооны харьцаа $4:5$ болсон бол анх хэдэн хөвгүүн, хэдэн охин байсан бэ?
8. Улаан, цэнхэр бөмбөгний тооны харьцаа $3:5$ байв. $12$ цэнхэр бөмбөгийг авсны дараа тэдгээрийн тооны харьцаа $3:2$ болсон бол анх тус бүр хэдэн бөмбөг байсан бэ?
9. $A$ ба $B$ хоёрын мөнгөний харьцаа $4:7$ байв. $A$ нь $B$-ээс $8500$ төгрөг авсны дараа тэдний мөнгөний харьцаа $7:8$ болсон бол анх тус бүр хэдэн төгрөгтэй байсан бэ?
10. Газрын зураг дээр $3$ см урттай дүрслэгдсэн зам бодит байдал дээр $12$ км урттай. Газрын зураг дээр $7.5$ см урттай зам бодит байдал дээр хэдэн км байх вэ?
11. $8$ хүн нэг ажлыг $15$ хоногт хийж дуусгадаг. Ижил бүтээмжтэй $12$ хүн уг ажлыг хэдэн хоногт хийж дуусгах вэ?
12. Автомашин $60$ км/ц хурдтай явахад тодорхой замыг $4$ цагт туулдаг. Уг замыг $80$ км/ц хурдтай явбал хэдэн цаг зарцуулах вэ?
13. $A:B:C=2:3:5$ бөгөөд $C-A=42$ бол $A+B+C$-ийн утгыг ол.
14. Нэг саванд ус ба жүүсний харьцаа $2:5$ байв. Саванд $12$ литр ус нэмэхэд ус ба жүүсний харьцаа $4:5$ болсон бол анх саванд хэдэн литр ус, хэдэн литр жүүс байсан бэ?