Жишээлбэл, Будагдсан хэсэг нь тэгш өнцөгтийн хэдэн хувийг эзлэх вэ?

Том тэгш өнцөгт $4\times5=20$ ширхэг нүдтэй. Иймд нэг нүд нь өгөгдсөн тэгш өнцөгтийн $\dfrac1{20}$ хэсэг буюу $$\dfrac1{20}=\dfrac1{20}\cdot\color{red}{\dfrac{5}{5}}=\dfrac{5}{100}=5\%$$ болно. Харин будагдсан тэгш өнцөг нь $3\times5=15$ нүдтэй тул $$5\%\times15=75\%$$ байна.

Дахин нэг жишээ авья. $250$ төгрөгийн $40\%$ гэдэг нь $250$ төгрөгийг $100$ хуваасны $40$ хэсэг юм. Үүнийг нэг бүрчлэн тооцьё. $250$-г $100$ хуваавал нэг хэсэг нь $\dfrac{250}{100}=2.5$ төгрөг болно. Ийм $40$ хэсэг гэхээр $$2.5\cdot40=90\mbox{ төг}$$ гэж гарна. Нэг илэрхийллээр бичвэл $$250\cdot40\%=250\cdot\underbrace{\dfrac{40}{100}}_{40\%}=90$$ байна. Үүнээс хойш ямар нэг $A$ тооны $b\%$ хувийг олно гэвэл $b\%$-иар үржүүлэх буюу $\dfrac{b}{100}$ бутархайгаар үржүүлж олно. Өөрөөр хэлбэл $$A\cdot b\%=A\cdot\dfrac{b}{100}.$$

Бид, $\dfrac1{100}=0.01=1\%$ гэдгийг мэддэг боллоо. Иймд, аливаа тоог хувь руу, хувийг тоо руу шилжүүлж чадна гэсэн үг юм. Жишээлбэл $0.34$ гэдэг тоо нь $0.34=\dfrac{34}{100}=34\%$, $\dfrac12$ тоо нь $\dfrac12=\dfrac{50}{100}=50\%$, харин, $25\%$ гэдгийг тоогоор илэрхийлвэл $25\%=\dfrac{25}{100}=\dfrac14$ байна.

Жишээ 1. $\dfrac{1}{5}$ тоог процентоор илэрхийлээрэй.

Өгөгдсөн бутархайн хуваарийг $100$ болгон өргөтгөе. $\color{red}{100:5=20}$ тул $$\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}\cdot\color{red}{\dfrac{20}{20}}=\dfrac{20}{100}=20\%$$ болно.

Жишээ 2. $1.24$ аравтын бутархайг процентоор илэрхийл.

Өгөгдсөн аравтын бутархайг зуу хуваарьтай энгийн бутархайд шилжүүлвэл хүртвэр нь процентийг илэрхийлнэ. $$1.24=\dfrac{124}{100}=124\%$$ болно.

Жишээ 3. Зурагт үзүүлсэн улаан сумыг процентоор илэрхийл.

Өгөгдсөн цэг нь $3.8$ утгыг илэрхийлнэ. $$3.8=\dfrac{3.8\cdot\color{red}{100}}{\color{red}{100}}=\dfrac{380}{100}=380\%$$ болно.

Жишээ 4. $7$ м-ийн $43\%$ нь хэдэн сантиметр вэ?

$7$ м нь $7\cdot100\mbox{ см}=700\mbox{ см}$ тул $43\%$-г $\dfrac{43}{100}$ эсвэл $0.43$-р үржүүлэж олно. $$700\mbox{ см}\cdot\dfrac{43}{100}=7\mbox{ м}\cdot43=301\mbox{ см}$$ эсвэл $$700\mbox{ см}\cdot0.43=301\mbox{ см}$$ гэж олно.

Жишээ 5. Болдоо өөрт байсан $63000$ төгрөгийн $18\%$-аар нь ном худалдан авчээ. Ном хэдэн төгрөгийн үнэтэй вэ?

$63000$ төгрөгийн $18\%$ гэдэг нь $$63000\mbox{ төг}\cdot\dfrac{18}{100}=11340\mbox{ төг}$$ болох бөгөөд энэ нь номын үнэ юм.

Жишээ 6. Эгч $1.3$ сая төгрөгийн цалин авдаг. Тэр цалингийнхаа $75\%$-г хүнсэнд зарцуулдаг бол хэдэн төгрөг нь үлддэг вэ? 

Арга 1. Эхлээд хүнсэнд зарцуулдаг мөнгөний хэмжээг ольё. $1300000$ төгрөгийн $75\%$ гэдэг нь $$1300000\mbox{ төг}\cdot\dfrac{75}{100}=975000\mbox{ төг}$$ бөгөөд үүнийг хүнсэнд зарцуулдаг. Тэгвэл үлдсэн хэсэг нь $$1300000\mbox{ төг}-975000\mbox{ төг}=325000\mbox{ төг}$$ байна.

Арга 2. Эгч өөрт байгаа мөнгөний $75\%$-г хүнсэнд зориулсан тул мөнгөний $100\%-75\%=25\%$ нь өөрт нь үлдэнэ. Иймд $25\%$-г олвол $$1300000\mbox{ төг}\cdot\dfrac{25}{100}=325000\mbox{ төг}$$ болно. Энэ хоёр аргын алийг ч ашиглаж болно.

Жишээ 7. Ангийн нийт сурагчдын $\dfrac{3}{4}$ хэсэг нь хөвгүүд. Энэ нь нийт сурагчдын хэдэн хувь бэ?

Энгийн бутархайг процентоор илэрхийлэхдээ түүнтэй тэнцүү байх $100$ хуваарьтай бутархайд шилжүүлдэг. $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\cdot\color{red}{\dfrac{25}{25}}=\dfrac{75}{100}=75\%$$

Жишээ 8. Анги $27$ хөвгүүдтэй ба энэ нь бүх сурагчдын $36\%$ байв. Уг анги нийт хэдэн сурагчтай вэ?

Ангийн нийт сурагчдын тоог $x$ гэвэл $$x\cdot\dfrac{36}{100}=27\Rightarrow x=27\cdot\dfrac{100}{36}=75$$ болно. Өөрөөр хэлбэл, анги нийт $75$ сурагчтай.

Жишээ 9. Ах сарын цалингийнхаа $18\%$ буюу $540000$ төгрөгөөр компьютерын сэлбэг худалдан авав. Ах хэдэн төгрөгийн цалин авсан бэ?

Ахын цалинг $x$ төгрөг гэвэл $$x\cdot\dfrac{18}{100}=540000\Rightarrow x=540000\cdot\dfrac{100}{18}=3000000$$ болно. Өөрөөр хэлбэл, ахын цалин $3000000$ буюу $3$ сая төгрөг.

Жишээ 10. Болдоо $13000$ төгрөгтэй, Батаа $9000$ төгрөгтэй байв. Тэд өөрсдийн мөнгөний $23\%$ ба $29\%$ хувийг нийлүүлж тоглоом авчээ. Тоглоом ямар үнэтэй вэ?

Болдоо $13000$ төгрөгийн $23\%$ буюу $13000\cdot\dfrac{23}{100}=2990$ төгрөгийг, Батаа $9000$ төгрөгийн $29$ хувь буюу $9000\cdot\dfrac{29}{100}=2610$ төгрөгийг нийлүүлсэн. Нийлээд $$2990+2610=5600$$ төгрөгөөр тоглоом авсан.

Жишээ 11. Дэлгүүрт байгаа $292000$ төгрөгийн үнэтэй бараа $34\%$ хямдарчээ. Хэдэн төгрөг болсон бэ?

Арга 1. $292000$ төгрөгийн $34\%$ гэдэг нь $$292000\cdot\dfrac{34}{100}=99280$$ төгрөг юм. Иймд хямдарсан үнэ нь $$292000-99280=192720\mbox{ төг}.$$

Арга 2. $34\%$ хямдарсан гэдгээс шинэ үнэ нь хуучин үнийнхээ $100\%-34\%=66\%$ болно. Ингээд шинэ үнээ олвол $$292000\cdot\dfrac{66}{100}=192720\mbox{ төг}.$$

Жишээ 12. Шинэ компьютерийн үнэ $2700000$ төгрөг байснаа хямдраад $2295000$ төгрөг болжээ. Хэдэн хувь хямдарсан бэ?

Арга 1. Үнийн зөрүү нь $2700000-2295000=405000$ байна. Энэ нь $2700000$-н хэдэн хувь бэ? гэдгийг олохын тулд $$405000\cdot100\%:2700000=15\%$$

Арга 2. $2295000$ төгрөг нь $2700000$ төгрөгийн хэдэн хувь бэ? гэдгийг ольё. $$2700000\cdot100\%:2295000=85\%$$ болно. Өөрөөр хэлбэл, шинэ үнэ нь хуучин үнийнхээ $85\%$ юм. Иймд хямдарсан хувь нь $100\%-85\%=15\%$ байна. болно.

Жишээ 13. Гар утасны үнэ $14\%$ хямдраад $2064000$ төгрөг болжээ. Анх хэдэн төгрөг байсан бэ?

Анхны үнэ $100\%$-иаc $14\%$ хямдраад $100\%-14\%=86\%$ болсон. $86\%$ нь $2064000$ гэдгээс анхны үнэ $$2064000\cdot100:86=2400000$$ байна.

Жишээ 14. Дэлгүүрт байгаа $180000$ төгрөгийн үнэтэй бараа $22\%$-иар хямдраад, дараа нь дахин $33\%$-иар хямдарчээ. Хэдэн төгрөг болсон бэ?

Арга 1. $180000$ төгрөгийн $22\%$ гэдэг нь $$180000\cdot\dfrac{22}{100}=39600$$ төгрөг юм. Иймд эхний удаад $$180000-39600=140400\mbox{ төг}$$ болж хямдарсан. Дараа нь $140400$ төгрөгөөс дахин $33\%$ хямдрах тул эхлээд $140400$-н $33\%$-г олно. $$140400\cdot\dfrac{33}{100}=46332$$ төгрөгөөр хямдарч $$140400-46332=94068$$ болно.

Арга 2. Эхний удаад $22\%$ хямдрахад үнийн $100\%-22\%=78\%$ хувь нь үлдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, эхний удаагийн хямдралын дараа бараа $$180000\cdot\dfrac{78}{100}=140400$$ болно. Дараа нь энэ үнээс $33\%$ хямдрахад $100\%-33\%=67\%$ хувь нь үлдэнэ. Иймд, шинэ үнэ нь $$140400\cdot\dfrac{67}{100}=94068$$ болно.

Жишээ 15. Барааны үнэ хоёр дахиж $13\%$ хямдраад $227070$ төгрөг болжээ. Анх хэдэн төгрөг байсан бэ?

Нэг удаагийн хямдралаар барааны үнэ $100\%-13\%=87\%$ болж буурна. Анхын үнийг $x$ гэвэл эхний хямдралаар $x\cdot\dfrac{87}{100}$ болно. Хоёр дахь хямдралаар $\left(x\cdot\dfrac{87}{100}\right)\cdot\dfrac{87}{100}$ болно. Эндээс $$x\cdot\left(\dfrac{87}{100}\right)^2=227070\Rightarrow$$ $$\Rightarrow x=227070\cdot\left(\dfrac{100}{87}\right)^2=300000$$ болох буюу анхны үнэ $300000$ байсан.

1. $200$ нүдний $17$ нүдийг будсан бол хэдэн процент будсан бэ?
2. \(35\%\)-ийг хураагдах бутархайгаар бич.
3. $\dfrac12$-ийг процентоор илэрхийл.
4. $\dfrac14$ ба $2\dfrac34$ тоонуудыг процентоор илэрхийл.
5. Дараах тоонуудыг багаас их рүү эрэмбэл: \[ 75\%,\qquad 20\%,\qquad 100\%,\qquad 50\%. \]
6. Дараах тоонуудын процентыг олоорой
   1. 70-ийн \(10\%\)-ийг ол. 
   2. 400-ийн \(1\%\)-ийг ол.
   3. 48-ийн \(50\%\)-ийг ол.
   4. 80-ийн \(25\%\)-ийг ол.
   5. 60-ийн \(20\%\)-ийг ол.
   6. 120-ийн \(30\%\)-ийг ол.
   7. 200-ийн \(75\%\)-ийг ол.
7. Сагсанд 40 алим байв. Түүний \(50\%\) нь улаан бол хэдэн улаан алим байсан бэ?
8. Ном 80 хуудастай. Энхжин номын \(25\%\)-ийг уншсан бол хэдэн хуудас уншсан бэ?
9. 30 сурагчийн \(20\%\) нь шатрын дугуйланд явдаг. Хэдэн сурагч шатрын дугуйланд явдаг вэ?
10. Дэлгүүрт байсан 100 бөмбөгийн 65-ыг заржээ. Нийт бөмбөгийн хэдэн процентыг зарсан бэ?
11. $50$ асуулттай сорилоос Тэмүүлэн 40 асуултад зөв хариулжээ. Тэр нийт асуултын хэдэн процентад зөв хариулсан бэ?
12. $60000$ төгрөгийн тоглоом \(10\%\)-ийн хямдралтай болов. Тоглоомын хямдарсан үнэ хэд вэ?
13. $40000$ төгрөгийн цүнхний үнэ \(25\%\)-иар нэмэгдэв. Цүнхний шинэ үнэ хэд вэ?
14. Нэг тооны \(50\%\) нь 35 бол уг тоог ол.
15. Эгч сарын цалингийнхаа $8\%$ буюу $160000$ төгрөгийг гоо сайхны бүтээгдэхүүнд зарцуулав. Эгч хэдэн төгрөгийн цалин авсан бэ? %$2$ сая төгрөг.
16. Ах сарын цалингийнхаа $10\%$ буюу $540000$ төгрөгөөр компьютерын сэлбэг худалдан авав. Ах хэдэн төгрөгийн цалин авсан бэ?
17. Дэлгүүрт байсан барааны үнэ $32\%$ хямдраад $1156000$ төгрөг болжээ. Анх хэдэн төгрөг байсан бэ?
18. Дэлгүүрт байгаа $100000$ төгрөгийн үнэтэй бараа $14\%$-иар хямдраад, дараа нь дахин $27\%$-иар хямдарчээ. Хэдэн төгрөг болсон бэ?
19. Барааны үнэ хоёр дахиж $14\%$ хямдраад $184900$ төгрөг болжээ. Анх хэдэн төгрөг байсан бэ?
20. Болд төлөвлөгөөгөө $20\%$-иар давуулан биелүүлж $30$ бодлого бодов. Анх хэдэн бодлого бодохоор төлөвлөсөн бэ?
21. Бүтээгдэхүүний чанар шалгах хэсэгт Тэргэл, Тэмүүжин хоёр ажилладаг. Тэргэл, Тэмүүжин-с $3$ дахин их бүтээгдэхүүн шалгах төлөвлөгөөтэй. Ажлын цаг дуусахад Тэргэл төлөвлөгөөгөө $15\%$-иар давуулан биелүүлсэн бол Тэмүүжин төлөвлөгөөнөөс $17\%$-иар бага бүтээгдэхүүн шалгав. Тэр хоёрын нийт төлөвлөгөө хэдэн хувиар биелэсэн бэ?