Пифагорын теорем нь геометр төдийгүй алгебр, тригонометр гээд математикийн бусад салбаруудад ч маш ихээр ашиглагддаг. Египтийн пирамидыг босгоход уг теоремийг хэрэглэж байсан түүхэн баримтууд ч бий. Мөн, хамгийн олон баталгаатайгаараа геннисийн номонд бүртгэгдсэн. Ийм гайхалтай нэгэн сэдвийг үзэцгээе.

$$a^2+b^2=c^2$$

Хамгийн сонгомол, энгийн баталгааг видео хичээлээс үзээрэй... Интернетээс хайвал янз бүрийн олон сонирхолтой баталгаанууд олдоно.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр катет $3,\ 4$ урттай бол теорем 1 ёсоор $$3^2+4^2=25=5^2$$ гэдгээс гипотенуз нь $5$ байна.

Гурвалжны гурван тал $3,\ 4,\ 5$ урттай бол $$3^2+4^2=5^2$$ нөхцөл биелэх бөгөөд теорем 2 ёсоор уг гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

Дээр дурьдсан Египтийн пирамидыг барихад, тухайлбал тэгш өнцгийг байгуулахад теорем 3-г ашиглаж байсан байдаг. Энэ теоремийг ашиглаж гурвалжны хэлбэрийг хэрхэн тогтоож буйг Жишээ 3-аас үзээрэй.

Жишээ 1. Мэдэгдэхгүй байгаа уртуудыг ол.

$ADC$ гурвалжны хувьд пифагорын теорем бичвэл $$3^2+1^2=x^2\Rightarrow x^2=10\Rightarrow x=\sqrt{10}.$$ $ABC$ гурвалжны хувьд пифагорын теорем бичвэл $$3^2+(y+1)^2=5^2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow(y+1)^2=16\Rightarrow y+1=4\Rightarrow$$ $$\Rightarrow y=3.$$

Жишээ 2. Тойргийн радиус $10$ бол тойргийн төвөөс $16$ урттай хөвч хүртэлх зайг ол.

Бодлогын зургийг зурваас $OAC$ адил хажуут гурвалжин бөгөөд $AC$ хүртэлх зай гэдэг нь $AC$-д буусан перпендикулярын уртыг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, $OB$ уртыг олно гэсэн үг юм.

$OAC$ адил хажуут гурвалжин тул $OB$ нь медиантай давхцах буюу $$AB=BC=8$$ байна. $OAB$ тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд пифагорын теорем бичвэл $$OB^2+8^2=10^2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow OB^2=36\Rightarrow OB=6$$ гэж гарна. Энэ нь Тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх зай $6$ гэдгийг харуулж байна.

Жишээ 3. $7,\ 9,\ 10$ урттай талууд бүхий гурвалжны хэлбэрийг тогтоо. Мохоо, хурц, тэгш өнцөгтийн алль нь байх вэ?

Мэдээж, $$\underbrace{7^2+9^2}_{130}>10^2$$ тул хурц өнцөгт гурвалжин байна.

Жишээ 4. $ABC$ гурвалжны талууд $AB=6$, $BC=8$, $AC=10$ бол $BH$ өндрийн уртыг ол.

$BH=h$, $AH=x$ гэвэл $HC=10-x$ болох бөгөөд $ABH$ ба $BHC$ гурвалжнууд дээр пифагорын теорем бичвэл $$\begin{cases} x^2+h^2=5^2\\ h^2+(10-x)^2=8^2\end{cases}$$ $$\begin{cases}x^2+h^2=25\\ \underbrace{x^2+h^2}_{25}-20x+100=64\end{cases}$$ $$20x=61\Rightarrow x=\dfrac{61}{20}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow h^2=25-\left(\dfrac{61}{20}\right)^2=\dfrac{6279}{400}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow h=\dfrac{6279}{20}.$$

Жишээ 5. (ЭЕШ2017) $ABCD$ квадратын $AC$ диагоналийг $M$ цэг $AM=5$, $MC=9$ байхаар хуваажээ. $BM$-ийн уртыг ол.

$AC=AM+MC\Rightarrow AC=5+9=14.$ Эндээс $$BH=AH=HC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{14}{2}=7$$ болно. $MH=MC-HC=9-7=2$. Пифагорын теомероор $$BM=\sqrt{{BH}^2+{MH}^2}=$$$$=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$$ гэж олдоно.

Жишээ 6. (ЭЕШ2016) $2$см ба $18$см радиустай $2$ тойрог гадаад байдлаар шүргэлцжээ. Тэдгээрийн шүргэлтийн цэгийг дайрахгүй ерөнхий шүргэгч шулууны шүргэлтийн цэгүүд болон уг тойргийн төвүүд дээр оройтой $4$-н өнцөгтийн талбайг олоорой.

Зургаас харвал $O_1O_2=2+18=20$, $O_2C=18-2=16$ байна. $AB=O_1C$ тул $$AB=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12.$$ Иймд $S_{ABCO_1}=2\cdot12=24$ ба $S_{O_1CO_2}=\dfrac{12\cdot16}2=96$ учир $$S_{ABO_2O_1}=24+96=120\mbox{ байна.}$$

1. Тэгш өнцөгт гурвалжнуудын гипенузын уртыг ол.

   

2. $x$-ийн утгыг ол.

   

3. Диагоналийн уртыг олоорой.

   

4. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд өгөгдсөн бол гипотенузыг ол. a) $a=6,\ b=8$; б)  $a=8;\ b=8\sqrt3$.
5. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд $a,b$ ба гипотенуз $c$. Хэрэв а) $a=12,\ c=13$; б) $a=3b,\ c=2\sqrt{10}$ бол $b$-г ол.
6. Гурвалжны талууд а) $6,\ 8,\ 10$; б) $5,\ 6,\ 7$; в) $9,\ 12,\ 15$ гэж өгөгдсөн бол тэгш өнцөгт гурвалжин мөн үү? Биш бол мохоо, хурц аль болохыг тогтоо.
7. Мэдэгдэхгүй байгаа уртуудыг ол.

   

8. Зөв гурвалжны талын урт $8$ бол түүний өндрийг ол.
9. Зөв гурвалжны өндөр $6$ бол түүний талуудыг ол.
10. Тойргийн радиус $20$ бол $12$ урттай хөвч хүртэлх зайг ол.
11. Трапецийн сууриуд $10, 20$ бөгөөд хажуу талууд нь $13$ бол өндрийг ол.
12. Ромбын диагоналиуд $12,16$ бол ромбын талыг ол.