булангийн хиймэл оюун ухаанаар гарган авсан дунд ангийнханд зориулсан шалгалтын материал болон БОДОЛТ

1. ($4,2$) ба ($7,-1$) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бич.
   
   $ \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}$ томьёогоор шууд бичиж болно. $$ \dfrac{x-(-4)}{(7)-(-4)}=\dfrac{y-(2)}{(-1)-(2)}\Rightarrow $$ $$ y=-\dfrac{ 3}{11}\cdot x+ \dfrac{10}{11} \mbox{ болно.}$$
    
2. Арифметик прогрессийн эхний гишүүн нь $ a_1=6$ ба $40$-р гишүүн нь $586$ гэж өгөгдсөн бол уг прогрессийн ялгавар хэд байх вэ? Зууны нарийвчлалаар олоорой.
   
   Арифметик прогрессийн $ n$-р гишүүнийг олох ерөнхий гишүүний томьёо нь $ a_n=a_1+(n-1)d$ байдаг эндээс ялгавар нь $$ d=\dfrac{a_{n-1}-a_1}{n-1}$$ гэж олдоно. Иймд $$ d=\dfrac{586-(6)}{40-1}\approx14.87 $$ байна.
    
3. Дараах илэрхийллийг хялбарчил $$\sqrt{1183}+\sqrt{700}+\sqrt{448}$$
   
   Язгуур доторх тоонуудыг анхны тоон задаргаа ашиглаад бүтэн квадраттай үржвэрт бичвэл $$1183=13^2\cdot 7$$$$700=10^2\cdot 7$$$$448=8^2\cdot 7$$ болно. Иймд $$\sqrt{1183}+\sqrt{700}+\sqrt{448}=$$$$=\sqrt{13^2\cdot 7}+\sqrt{10^2\cdot 7}+\sqrt{8^2\cdot 7}=$$$$=13\sqrt{7}+10\sqrt{7}+8\sqrt{7}=31\sqrt{7}$$
    
4. Дараах геометр прогрессийн 5-р гишүүнийг ол. $$2,\ 4,\ 8,...$$
   
   Уг прогрессийн эхний гишүүн $b_1=2$ ба ноогдвор нь $q=\dfrac{4}{2}=2$ байна. Геометр прогрессийн $n$-р гишүүнийг олох ерөнхий гишүүний томьёо нь $b_n=b_1q^{n-1}$ байх тул энэ томьёонд орлуулаад$$b_{5}=2\cdot 2^{5-1}=32$$ гарна.
    
5. Дараах давтамжийн хүснэгтээр дүрслэгдсэн өгөгдлийн арифметик дунджийг олоорой.$$\begin{array}{cc} \hline \mbox{Утга}& \mbox{Давтамж} \\ \hline 3 & 3 \\ 6 & 2 \\ 7 & 5 \\ 9 & 1 \\ \hline \end{array}$$
   
   Өгөгдлийн нийт утгуудын нийлбэрийг олохын тулд давтамжийн хүснэгтээ өргөтгөе.$$\begin{array}{ccc} \hline \mbox{Утга}& \mbox{Давтамж}& f\cdot x \\ \hline 3 & 3 & 9 \\ 6 & 2 & 12 \\ 7 & 5 & 35 \\ 9 & 1& 9 \\ \hline Нийт & 11 & 65 \end{array}$$Эндээс дүгнэвэл нийт өгөгдлийн тоо $n=11$ бөгөөд өгөгдөл дэх утгуудын нийлбэр $\sum x_n=65$ гарна. Иймд арифметик дундаж нь $$\overline x=\dfrac{\sum x_n}{n}=\dfrac{65}{11}\approx5.91$$ гэж гарна.
    
6. Матрицуудын үржих үйлдлийг гүйцэтгэ.$$ \begin{pmatrix} 6& -2\\-3& -8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -9& 9\\5& 8 \end{pmatrix}$$
   
   Хоёр хэмжээст квадрат матрицуудын үржвэр $2\times2$ хэмжээстэй гарна. Өгөгдсөн матрицуудын үржвэр$$ \begin{pmatrix} 6& -2\\-3& -8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -9& 9\\5& 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_{11}& c_{12}\\ c_{21}& c_{22} \end{pmatrix}$$гардаг гэвэл \begin{align*}c_{11}=& a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=\\ =& 6\cdot(-9)+(-2)\cdot(5)=-64\end{align*}\begin{align*}c_{12}=& a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=\\ =& 6\cdot(9)+(-2)\cdot(8)=38\end{align*}\begin{align*}c_{21}=& a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=\\ =& -3\cdot(-9)+(-8)\cdot(5)=-13\end{align*} \begin{align*}c_{22}=& a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}=\\ =& -3\cdot(9)+(-8)\cdot(8)=-91\end{align*} байна. Өөрөөр хэлбэл, $$\begin{pmatrix} 6& -2\\-3& -8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -9& 9\\5& 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -64& 38\\-13& -91 \end{pmatrix} . $$
    
7. $4x^2+8x-96=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1$, $x_2$ бол $$x_1^3+x_2^3$$ илэрхийллийн утгыг ол.
   
   Эхлээд $x_1^2+x_2^2$-н утгыг ольё. $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ байдаг тул $x_1+x_2$ ба $x_1x_2$ илэрхийллийн утгуудыг олвол бодлогоо бодож чадна. Виетийн теоремоор $$\begin{cases}x_1+x_2=-\dfrac ba=-2 \\ x_1\cdot x_2=\dfrac ca=-24\end{cases}$$ байна. Иймд $$x_1^2+x_2^2=(\underbrace{x_1+x_2}_{-2})^2-2\underbrace{x_1x_2}_{-24}=$$$$=4+2\cdot24=52.$$Одоо $a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)$ томьёог ашиглавал$$x_1^3+x_2^3=$$$$=(\underbrace{x_1+x_2}_{-2})(\underbrace{x_1^2+x_2^2}_{52}-\underbrace{x_1x_2}_{-24})=$$$$=-2\cdot(52+24)=-152.$$
    
8. Дараах илэрхийллээс бүтэн квадрат ялгаарай. $$4x^2+64x+280$$
   
   Эхлээд $x^2$-н коэффициентийг хаалтнаас гаргаад, хаалтан доторх илэрхийллийг нийлбэрийн квадратын томьёо буюу $\color{red}{(a+ b)^2=a^2+2ab+b^2}$ адилтгалд тааруулж хувиргая.$$4x^2+64x+280=$$$$=4(x^2+16x+70)=$$$$=4(\color{red}{x^2}\color{red}{+}\underbrace{\color{red}{2\cdot x\cdot (8)}}_{16x}\color{red}{+}\underbrace{\color{red}{(8)^2}+6}_{70})=$$$$=4\left(\color{red}{(x+8)^2}+6\right)=$$$$=4\color{red}{(x+8)^2}+24$$
    
9. $2462$ тооны $57\%$ ба $2030$ тооны $77\%$-г тус бүр зууны нарийвчлалтайгаар олоод хооронд нь нэмээрэй.
   
   $2462$ тооны $57\%$-г $x$, $2030$ тооны $77\%$-г $y$ гэж тэмдэглээд тус бүрд нь порпорц зохиож бодвол$$\begin{array}{rcl|} 2462& \to & 100\% \\ x & \to& 57\%\end{array}\Rightarrow x=\dfrac{2462\cdot 57\%}{100\%}=1403.34$$$$\begin{array}{rcl|} 2030& \to & 100\% \\ y & \to& 77\%\end{array}\Rightarrow y=\dfrac{2030\cdot 77\%}{100\%}=1563.1$$ болно. Эндээс $$x+y=1403.34+1563.1=2966.44$$ байна.
    
10. Язгуураас гаргаарай. $$\sqrt{42+12\sqrt{6}}$$
    
    $42=36+6$ тул салгаж бичээд $\color{blue}{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$ томьёог ашиглая. $$\sqrt{\color{red}{42}+12\sqrt{6}}=$$ $$=\sqrt{\color{red}{6^2}+2\cdot6\cdot\sqrt{6}+\color{red}{\sqrt{6}^2}}=$$ $$=\sqrt{\color{red}{(6+\sqrt{6})^2}}=|6+\sqrt{6}|$$ бөгөөд $6+\sqrt{6}\ge0$ тул $$|6+\sqrt{6}|=6+\sqrt{6}$$ байна.