Та бүхэнд 8x100 сургалтын төвийн хичээлийг хүргэж байна. Бусад хичээлүүдийг ОНЛАЙН ХИЧЭЭЛ цэсээр орж үзээрэй...

ОНОЛ

Тодорхой бус интеграл гэдэг нь уламжлалын эсрэг үйлдэл гэдгийг өмнөх хичээлээр үзсэн билээ. Тэгвэл энэ удаад $[a;b]$ завсар дээр эерэг утгатай $y=f(x)$ функц болон $Ox$ тэнхлэг, $x=a,\ x=b$ шулуунуудаар хашигдсан дүрсийг авч үзье.

Энэ зурагт үзүүлсэн дүрсийг муруй шугаман трапец гэх бөгөөд түүний талбайг $$\int\limits_a^b f(x)dx$$ гэж тэмдэглээд тодорхой интеграл гэнэ.

 

Тэгвэл талбайг хэрхэн олох тухай товч тайлбарлая. Доорх зурагт $[0;x]$ завсар дахь муруй шугаман трапецийн талбайг $S(x)$, будагдсан хэсгийн талбайг $\Delta S$ гэж тэмдэглээд $\Delta S$-г тэгш өнцөгт ба гурвалжнуудын талбайн нийлбэрээр тооцож бодьё.

$x$ цэгийн хувь тэгш өнцөгтийн талбай $f(x)\cdot \Delta x$ байх нь ойгомжтой бөгөөд гурвалжны талбай $\dfrac{\Delta f(x)\cdot\Delta x}2$ болно. Иймд $$\Delta S=f(x)\cdot \Delta x+\dfrac{\Delta f(x)\cdot\Delta x}2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\dfrac{\Delta S}{\Delta x}=f(x)+\dfrac{\Delta f(x)}2$$ болно. $\Delta x\to0$ үед $\Delta f(x)\to0$ тул $$\dfrac{\Delta S}{\Delta x}=f(x)$$ болох бөгөөд эндээс $S(x)$ нь $f(x)$ функцийн эх функц байна гэсэн дүгнэлтийг хийж болно.

Тэгвэл эхний зурагт үзүүлсэн $[a;b]$ завсар дээрх муруй шугаман трапецийн талбай нь $$S_{[a;b]}=S_b-S_a$$ байх нь ойлгомжтой бөгөөд эндээс $$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$ гэж гарч ирнэ. Үүнийн Ньютон-Лейбницийн томьёо гэнэ. Иймд бид, тодорхой бус интегралыг сайн бодож чадвал тодорхой интеграл нь амархан гэдгийг харж авлаа. Хэрэв $y=f(x)$ функц $[a;b]$ завсар дээр сөрөг утгатай байвал түүний талбайг $$S=-\int_a^bf(x)dx\mbox{ гэж олно.}$$ Талбай олох тухай дэлгэрэнгүй хичээлийг дараагийн дугаарт оруулах болно.

Тодорхой интегралын чанарууд

$$\int_a^af(x)dx=0$$ $$\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$ $$\int_a^b[f(x)+g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$$ $$\int_a^bkf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx$$

ЖИШЭЭ

Жишээ 5. $\int\limits_0^33x^2dx$ тодорхой интегралыг бод.

$$\int_0^3 3x^2dx=3\int_0^3 x^2dx=$$$$ =3\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}\biggr\rvert_0^3=x^3\biggr\rvert_0^3=$$ $$=3^3-0^3=27.$$

 

Жишээ 6. $\int\limits_{1}^3\dfrac1{x^2}dx$ тодорхой интегралыг бод.

$$\int_1^3\dfrac1{x^2}dx=\int_1^3 x^{-2}dx=$$ $$=\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}\biggr\rvert_1^3=-\dfrac1x\biggr\rvert_1^3=$$ $$=-\dfrac13+1=\dfrac23.$$

 

Жишээ 7. $\int\limits_3^9\sqrt[4]{x^3}dx$ тодорхой интегралыг бод.

$$\int_3^9\sqrt[4]{x^3}dx=\int_3^9 x^{\frac34}dx=$$ $$=\dfrac{x^{\frac34+1}}{\frac34+1}\biggr\rvert_3^9=\dfrac74x^{\frac74}\biggr\rvert_3^9=$$ $$=\dfrac74\left(\sqrt[4]{9^7}-\sqrt[4]{3^7}\right).$$

 

Жишээ 8. $\int\limits_{-1}^4(x^2+4x+5)dx$ тодорхой интегралыг бод.

$$\int_{-1}^4(x^2+4x+5)dx=$$ $$=\int_{-1}^4 x^2dx+4\int_{-1}^4 xdx+\int_{-1}^45dx=$$ $$=\dfrac{x^3}3+4\cdot\dfrac{x^2}2+5\cdot x\biggr\rvert_{-1}^4=$$ $$=\dfrac{x^3}3+2x^2+5x\biggr\rvert_{-1}^4=$$ $$=\left(\dfrac{4^3}3+2\cdot4^2+5\cdot4\right)-$$ $$-\left(\dfrac{-1^3}3+2\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)\right)=76\dfrac23.$$

 

Жишээ 9. $\int\limits_{0}^3 |x-2|dx $ тодорхой интегралыг бод.

Уг интеграл нь модуль агуулсан байгаа тул хилүүдийг салгах замаар модулиас гаргах хэрэгтэй. $|x-2|$ илэрхийлэл $$x< 2\mbox{ үед }|x-2|=2-x$$ ба $$x\ge2\mbox{ үед }|x-2|=x-2$$ тул $$\int\limits_{0}^3 |x-2|dx=$$ $$=\int\limits_{0}^2 |x-2|dx+\int\limits_2^3 |x-2|dx=$$ $$=\int\limits_{0}^2 (2-x)dx+\int\limits_2^3 (x-2)dx=$$ $$=\left(2x-\dfrac{x^2}2\right)\biggr\rvert_0^2+\left(\dfrac{x^2}2-2x\right)\biggr\rvert_2^3= 2.5$$

ДААЛГАВАР
  1. Дараах тодорхой интегралуудыг бод. $$\int\limits_0^4 xdx, \int\limits_1^3 (1-x)dx,\ \int\limits_{-1}^1 (2x+2)dx $$
  2. Дараах тодорхой интегралуудыг бод. $$\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \sin xdx,\ \int\limits_{0}^{2\pi} \sin xdx, \int\limits_{0}^{\frac\pi2} \cos xdx $$
  3. Дараах тодорхой интегралуудыг бод. $$\int\limits_{-2}^2 |x|dx,\ \int\limits_{0}^3 |x-2|dx,\ \int\limits_{0}^4 |2x-2|dx $$
  4. Дараах тодорхой интегралуудыг бод. $$\int\limits_0^\pi x\cos xdx,\ \int\limits_0^{\frac\pi2} x\sin xdx $$
Хэрвээ, чи хичээвэл юунд ч хүрч чадна...
- 8x100
Сэлүүн Санаа ХХК-ийн дэргэдэх 8x100 сургалтын төв нь үйл ажиллагаагаа эхлэсний 5 жилийн ойгоо тохиолдуулан олон арга хэмжээ зохиож байгаагийн нэг нь энэ цахим сургалтын систем болно.

Ирээдүй, хойч үеийн эзэд болох сурагч та бүхнийг хүссэн мэргэжилээ саадгүй сонгож, итгэл үнэмшил дүүрэн сурч, илүү өндөр мэдлэгтэй, чадварлаг боловсон хүчин болж эх орондоо зүтгээсэй гэсэн хүслийн дор ийнхүү ажиллаж байна.