ПАРАМЕТРТ ФУНКЦИЙН УЛАМЖЛАЛ
ЖИШЭЭ БОДЛОГУУД
Параметрт функцийн уламжлалыг олохдоо $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}=$$$$=\dfrac{dy}{dt}:\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{y'_t}{x'_t}$$ байхыг ашигладаг. Өөрөөр хэлбэл, хувьсагч тус бүрээс параметрээр нь уламжлал аваад хооронд нь харьцуулна гэсэн үг юм.
Жишээ 1.
\[x = {t^2},\;y = {t^3}.\]
Бодолт.
Эхлээд \(x\) ба \(y\) -ээс $t$-р авсан уламжлалуудыг ольё.
\[{x'_t} = \left( {{t^2}} \right)^\prime = 2t,\;\;{y'_t} = \left( {{t^3}} \right)^\prime = 3{t^2}.\]
Одоо,
\[\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{{3{t^2}}}{{2t}} = \frac{{3t}}{2}\;\left( {t \ne 0} \right).\]
Жишээ 2.
\[x = 2t + 1,\;y = 4t - 3.\]
Бодолт.
\[{x'_t} = \left( {2t + 1} \right) = 2,\;\;{y'_t} = \left( {4t - 3} \right)^\prime = 4.\]
Иймд,
\[\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{4}{2} = 2.\]
Жишээ 3.
\[x = {e^{2t}},\;y = {e^{3t}}.\]
Бодолт.
\[{x'_t} = \left( {{e^{2t}}} \right)^\prime = 2{e^{2t}},\;\;{y'_t} = \left( {{e^{3t}}} \right)^\prime = 3{e^{3t}}.\]
Иймд \(\frac{{dy}}{{dx}}\) уламжлал нь
\[\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{{3{e^{3t}}}}{{2{e^{2t}}}} = \frac{3}{2}{e^{3t - 2t}} = \frac{3}{2}{e^t}.\]
Жишээ 4.
\[x = at,\;y = b{t^2}.\]
Бодолт.
Тус бүрд нь $t$-ээр уламжлал авбал
\[{x'_t} = \left( {at} \right)^\prime = a,\;\;{y'_t} = \left( {b{t^2}} \right)^\prime = 2bt.\]
Иймд,
\[\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{{2bt}}{a}.\]
Жишээ 5.
\[x = {\sin ^2}t,\;y = {\cos ^2}t.\]
Бодолт.
\(t\)-ээр уламжлал авбал
$${x'_t} = \left( {{{\sin }^2}t} \right)^\prime =$$$$= 2\sin t \cdot \cos t = \sin 2t,$$
$${y'_t} = \left( {{{\cos }^2}t} \right)^\prime = 2\cos t \cdot \left( { - \sin t} \right) =$$$$= - 2\sin t\cos t = - \sin 2t.$$
Одоо
$$\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{{ -{\sin 2t}}}{{{\sin 2t}}} = - 1.$$ Энд, $t \ne \frac{{\pi n}}{2},\;\; n \in \mathbb{Z}.$
Жишээ 6.
\[x = \sinh t,\;y = \cosh t.\]
Бодолт.
\[{x'_t} = \left( {\sinh t} \right)^\prime = \cosh t,\] \[{y'_t} = \left( {\cosh t} \right)^\prime = \sinh t.\]
Эндээс,
\[\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{{\sinh t}}{{\cosh t}} = \tanh t.\]
