The only way to learn MATHEMATICS

is to do MATHEMATICS.

- Paul Halmos -
СОНИРХОЛТОЙ БОДЛОГО
3-р сарыг дуустал төлбөргүй
Математик сонирхогч хүүхэд, залуустаа зориулаад сонирхолтой, сургамжтай бодлогуудыг бие даан бодох байдлаар оруулж байх болно. Өөртөө зав гаргаад оролдож үзээрэй. Бодолтыг 7 хоногийн дараа оруулах бөгөөд түүнээс өмнө өөрсдийн бодолтуудаа seluunsanaa@gmail.com хаягаар ирүүлээрэй. Оновчтой, гоё бөгөөд нийтлэгчийн санаатай давхцаагүй бодолт ирвэл таны бодолтыг таны нэртэйгээр нийтлэх болно.
Бодолт илгээхдээ гаргацтай бичсэн бодолтоо тод, чанартайгаар зургийг авч явуулна. Өөрийн нэр болон сургууль, анги, утасны дугаараа бичээрэй.
БОДЛОГО №3
$f_1(x)=(x-2)^2$ ба $f_n(x)=(f_{n-1}(x)-2)^2$ гэж тодорхойлогдсон бол $f_{2023}(x)$ функцийн $x^2$-н өмнөх коэффициентийг ол.

Бодолт 1.
8x100 (www.iMath.mn)-н бодолт
Бид $x^2$-н өмнөх коэффициентийг олох шаардлагатай тул дарааллын гишүүн бүр дэх $x^2$, $x$ болон сул гишүүдийг судлах хэрэгтэй. Иймд $$f_n(x)=...+a_nx^2-b_nx+c_n$$ гэж тэмдэглэе. $a_1=1$, $b_1=4$ ба $\forall n\in\mathbb N:\ c_n=4$ байх нь ойлгомжтой юм. Иймд, $$b_{n+1}=4b_n=4^n$$ бөгөөд $$a_{n+1}=4a_n+b_n^2=4a_n+16^n$$ байхыг хялбархан шалгаж болно. Эндээс $$a_n=\dfrac{16^n-4^n}{12}$$ гэж олдох тул бодлогын хариу $$a_{2023}=\dfrac{16^{2023}-4^{2023}}{12}$$ байна.
ӨМНӨХ БОДЛОГУУД

$(3+\sqrt7)^{2023}$ тооны бүхэл хэсэг тэгш байх уу? сондгой байх уу? $a$ тооноос үл хэтрэх хамгийн их бүхэл тоог $a$ тооны бүхэл хэсэг гэж нэрлэдэг.
Бодолт 1.
8x100 (www.iMath.mn)-н бодолт
Д. Ариунтуяа (14-р сургуулийн 12ё анги)
О. Лхагва (Увс, Тариалан сум 1 сургууль, 11 а анги) нарын бодолтын санаа доорх бодолттой ижил байсан.

Ерөнхий тохиолдолд авч үзье. Дурын натурал $n$ тооны хувьд $$(3+\sqrt7)^n=A+B\sqrt7$$ $$(3-\sqrt7)^n=A-B\sqrt7$$ байх нь ойлгомжтой. Энд, $A,B\in\mathbb N$ юм. Эндээс $$(3+\sqrt7)^n+(3-\sqrt7)^n=2A\qquad(*)$$ байна. Өөрөөр хэлбэл, тэгш тоо гарна.

$(3+\sqrt7)(3-\sqrt7)=2$ тул $$(3-\sqrt7)^n=\dfrac{2^n}{(3+\sqrt7)^n}< 1$$ буюу $$0< 1-(3-\sqrt7)^n< 1$$ байна. $(*)$-ээс $$(3+\sqrt7)^n=2A-(3-\sqrt7)^2=$$ $$=2A-1+\underbrace{1-(3-\sqrt7)^2}_{\mbox{бутархай хэсэг}}$$ болох тул $$\left[(3+\sqrt7)^n\right]=2A-1$$ байна. Өөрөөр хэлбэл, $n$-ээс үл хамаараад үргэлж сондгой байна.

Бодолт 2.
Т. Базар (R3 сургалтын төв)-н бодолт
$3+\sqrt7=a$, $3-\sqrt7=b$ гэе. $x^2-6x+2=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $a,b$ байна. $a^n+b^n=t_n$ гэвэл $$x^{n+2}=6x^{n+1}-2x^n\Rightarrow$$ $$\Rightarrow t_{n+2}=6t_{n+1}-2t_n$$ ба $t_1=6$, $t_2=32$ болно. Эндээс $\forall n: t_n\in\mathbb Z$ бөгөөд тэгш байна.
$0< b^n< 1$ гэдгээс $$[a^n]=[t_n-b^n]=t_n-1$$ сондгой болно. Энд $t_n-1< t_n-b^n< t_n$ тул $[t_n-b^n]=t_n-1.$
Өөрөөр хэлбэл, $\forall n\in\mathbb N:[(3+\sqrt7)^n]$ сондгой.

$f(x)=x^{99}+x^{98}+...+x+1$ бол $f(x^{100})$-г $f(x)$-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
Бодолт 1.
Д. Ариунтуяа (14-р сургууль 12ё анги)-н бодолт
$f(x)=\dfrac{x^{100}-1}{x-1}$ буюу $f(x)(x-1)+1=x^{100}$ байна. Харин, $$f(x^{100})=\dfrac{(x^{100})^{100}-1}{x^{100}-1}$$ байх бөгөөд $x^{100}=f(x)(x-1)+1$ гэж орлуулвал $$f(x^{100})=\dfrac{(f(x)(x-1)+1)^{100}-1}{f(x)(x-1)}$$ $(f(x)(x-1)+1)^{100}$-г биномын томьёогоор задалвал $$(f(x)(x-1)+1)^{100}=$$ $$=\sum_{k=0}^{100}\binom{100}k(f(x)(x-1))^{100-k}=$$ $$=\sum_{k=0}^{98}\binom{100}k(f(x)(x-1))^{100-k}+$$ $$+\binom{100}1f(x)(x-1)+1=$$ $$=Q(x)f^2(x)(x-1)^2+100f(x)(x-1)+1$$ байна. Иймд, $$f(x^{100})=Q(x)f(x)(x-1)+100$$ болох бөгөөд үлдэгдэл нь $R=100$ гэж гарна.
Бодолт 2.
Т. Базар, Ч. Гантөмөр (R3 сургалтын төв, Математикийн Тасралтгүй Боловсрол)-н бодолт

Лемм. $f(x)\equiv g(x)\pmod {h(x)}$ бол дурын $k(x)$ олон гишүүнтийн хувьд $$k(f(x))\equiv k(g(x))\pmod{h(x)}$$ байна.

Баталгаа. $f(x)\equiv g(x)\pmod {h(x)}$ бол дурын $n\in\mathbb N$ ба $a\in\mathbb Z$ тоонуудын хувьд $$a[f(x)]^n\equiv a[g(x)]^n$$ байх тул дурын $k(x)=\sum\limits_{n=0}^N a_nx^n$ олон гишүүнтийн хувьд $$k(f(x))=\sum_{n=0}^Na_n[f(x)]^n\equiv$$ $$\equiv \sum_{n=0}^Na_n[g(x)]^n=k(g(x))\pmod{h(x)}$$ болж батлагдав.

$x^{100}=f(x)(x-1)+1$ буюу $$x^{100}\equiv 1\pmod{f(x)}$$ тул лемм ёсоор $$f(x^{100})\equiv f(1)=100\pmod{f(x)}$$ байна.

Бодолт 3.
Д. Ганзориг (Олонлог төв сургууль)-н бодолт
$x^{100}=(x-1)f(x)+1$ байна. Иймд $$f(x^{100})=f((x-1)f(x)+1)=$$ $$=\sum_{k=0}^{99}((x-1)f(x)+1)^{99-k}=$$ $$=f(x)P(x)+100$$ байх $P(x)$ олон гишүүнт олдоно. Өөрөөр хэлбэл, $f(x^{100})$-г $f(x)$-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь $100$ юм.
Бодолт 4.
Д. Ганзориг (Олонлог төв сургууль)-н бодолт
Дурын натурал $n$ тооны хувьд $a-b|a^n-b^n$ байна. $$f(x^{100})-100=$$$$=\sum_{k=0}^{99}\left[(x^{100})^k-1^k\right]$$ гэж бичвэл нэмэгдхүүн тус бүр нь $x^{100}-1$-д хуваагдана. Мөн $f(x)|x^{100}-1$ тул $$f(x)\big|f(x^{100})-100$$ болох тул $f(x^{100})$-г $f(x)$-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь $100$ юм.
Бодолт 5.
Д. Ганзориг (Олонлог төв сургууль)-н бодолт
$f(x)=\dfrac{x^{100}-1}{x-1}$ тул $f(x)=0$ тэгшитгэл $$\varepsilon_k=\cos\dfrac{2\pi k}{100}+i\sin\dfrac{2\pi k}{100},\ k =\overline{1,99}$$ нэгжийн язгууруудтай байх буюу $$f(x)=\prod_{k=1}^{99}(x-\varepsilon_k)$$ байна. $\forall k\in\{1,...,99\}$-н хувьд $\varepsilon_k^{100}=1$ тул $$f(\varepsilon_k^{100})-100=$$ $$=f(1)-100=0$$ байна. Өөрөөр хэлбэл $\varepsilon_k$, $k=\overline{1,99}$ тоонууд $f(x^{100})-100=0$ тэгшитгэлийн язгуур болно. Иймд $$f(x)\big|f(x^{100})-100$$ буюу $f(x^{100})$-г $f(x)$-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь $100$ гэж гарна.

Хэрвээ, чи хичээвэл юунд ч хүрч чадна...
- 8x100
Сэлүүн Санаа ХХК-ийн дэргэдэх 8x100 сургалтын төв нь үйл ажиллагаагаа эхлэсний 5 жилийн ойгоо тохиолдуулан олон арга хэмжээ зохиож байгаагийн нэг нь энэ цахим сургалтын систем болно.

Ирээдүй, хойч үеийн эзэд болох сурагч та бүхнийг хүссэн мэргэжилээ саадгүй сонгож, итгэл үнэмшил дүүрэн сурч, илүү өндөр мэдлэгтэй, чадварлаг боловсон хүчин болж эх орондоо зүтгээсэй гэсэн хүслийн дор ийнхүү ажиллаж байна.