$f(x)=x^{99}+x^{98}+...+x+1$ бол $f(x^{100})$-г $f(x)$-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
Бодолт 1.
Д. Ариунтуяа (14-р сургууль 12ё анги)-н бодолт
$f(x)=\dfrac{x^{100}-1}{x-1}$ буюу $f(x)(x-1)+1=x^{100}$ байна. Харин,
$$f(x^{100})=\dfrac{(x^{100})^{100}-1}{x^{100}-1}$$ байх бөгөөд $x^{100}=f(x)(x-1)+1$ гэж орлуулвал
$$f(x^{100})=\dfrac{(f(x)(x-1)+1)^{100}-1}{f(x)(x-1)}$$
$(f(x)(x-1)+1)^{100}$-г биномын томьёогоор задалвал
$$(f(x)(x-1)+1)^{100}=$$
$$=\sum_{k=0}^{100}\binom{100}k(f(x)(x-1))^{100-k}=$$
$$=\sum_{k=0}^{98}\binom{100}k(f(x)(x-1))^{100-k}+$$
$$+\binom{100}1f(x)(x-1)+1=$$
$$=Q(x)f^2(x)(x-1)^2+100f(x)(x-1)+1$$ байна. Иймд,
$$f(x^{100})=Q(x)f(x)(x-1)+100$$ болох бөгөөд үлдэгдэл нь $R=100$ гэж гарна.
Бодолт 2.
Т. Базар, Ч. Гантөмөр (R3 сургалтын төв, Математикийн Тасралтгүй Боловсрол)-н бодолт
Лемм. $f(x)\equiv g(x)\pmod {h(x)}$ бол дурын $k(x)$ олон гишүүнтийн хувьд $$k(f(x))\equiv k(g(x))\pmod{h(x)}$$ байна.
Баталгаа. $f(x)\equiv g(x)\pmod {h(x)}$ бол дурын $n\in\mathbb N$ ба $a\in\mathbb Z$ тоонуудын хувьд
$$a[f(x)]^n\equiv a[g(x)]^n$$ байх тул дурын $k(x)=\sum\limits_{n=0}^N a_nx^n$ олон гишүүнтийн хувьд
$$k(f(x))=\sum_{n=0}^Na_n[f(x)]^n\equiv$$
$$\equiv \sum_{n=0}^Na_n[g(x)]^n=k(g(x))\pmod{h(x)}$$ болж батлагдав.
$x^{100}=f(x)(x-1)+1$ буюу $$x^{100}\equiv 1\pmod{f(x)}$$ тул лемм ёсоор
$$f(x^{100})\equiv f(1)=100\pmod{f(x)}$$ байна.
Бодолт 3.
Д. Ганзориг (Олонлог төв сургууль)-н бодолт
$x^{100}=(x-1)f(x)+1$ байна. Иймд
$$f(x^{100})=f((x-1)f(x)+1)=$$
$$=\sum_{k=0}^{99}((x-1)f(x)+1)^{99-k}=$$
$$=f(x)P(x)+100$$ байх $P(x)$ олон гишүүнт олдоно. Өөрөөр хэлбэл, $f(x^{100})$-г $f(x)$-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь $100$ юм.
Бодолт 4.
Д. Ганзориг (Олонлог төв сургууль)-н бодолт
Дурын натурал $n$ тооны хувьд $a-b|a^n-b^n$ байна.
$$f(x^{100})-100=$$$$=\sum_{k=0}^{99}\left[(x^{100})^k-1^k\right]$$ гэж бичвэл нэмэгдхүүн тус бүр нь $x^{100}-1$-д хуваагдана. Мөн $f(x)|x^{100}-1$ тул $$f(x)\big|f(x^{100})-100$$
болох тул $f(x^{100})$-г $f(x)$-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь $100$ юм.
Бодолт 5.
Д. Ганзориг (Олонлог төв сургууль)-н бодолт
$f(x)=\dfrac{x^{100}-1}{x-1}$ тул $f(x)=0$ тэгшитгэл
$$\varepsilon_k=\cos\dfrac{2\pi k}{100}+i\sin\dfrac{2\pi k}{100},\ k =\overline{1,99}$$ нэгжийн язгууруудтай байх буюу
$$f(x)=\prod_{k=1}^{99}(x-\varepsilon_k)$$ байна. $\forall k\in\{1,...,99\}$-н хувьд $\varepsilon_k^{100}=1$ тул
$$f(\varepsilon_k^{100})-100=$$
$$=f(1)-100=0$$ байна. Өөрөөр хэлбэл $\varepsilon_k$, $k=\overline{1,99}$ тоонууд $f(x^{100})-100=0$ тэгшитгэлийн язгуур болно. Иймд $$f(x)\big|f(x^{100})-100$$ буюу $f(x^{100})$-г $f(x)$-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь $100$ гэж гарна.
