Та бүртгүүлж, хэрэглэгч болоод сорилууд ажиллавал ямар бодлого дээр алдсан, ямар бодлогыг зөв бодсон болохыг харуулдаг систем ажиллана. Мөн бусад сорилуудад оролцох боломжтой болно.
1 $A(1;0)$, $B(4;4)$ цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
Бодолт
Цэгүүдийн хоорондох зай нь
$$d=\sqrt{(4-1)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=$$
$$=\sqrt{25}=5.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
2 $\dfrac{x^2+x-6}{x^2-x-2}$ илэрхийллийг хялбарчил.
Бодолт
Бутархайн хүртвэл хуваарийг үржигдэхүүн болгон задалвал
$$\dfrac{x^2+x-6}{x^2-x-2}=$$
$$=\dfrac{(x-2)(x+3)}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{x+3}{x+1}.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
3 Шулуун дээр $C,\ D,\ E$ цэгүүд энэ дарааллаараа байрлана. $CD$-ийн урт $DE$-ээс 2 дахин бага ба $CE$-ийн урт $CD$-ээс $4$ нэгжээр их бол $DE$-г ол.
Бодолт
$CD$-ийн уртыг $x$ гэвэл $DE=2x$ болно. $CE$-ийн урт $CD$-ээс $4$ нэгжээр их гэдгээс $$3x=CE=x+4\Rightarrow 2x=4$$ болно. $DE=2x$ тул $DE=2x=4$ байна.
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
4 $2,\ 8,\ 5$ гэсэн $3$ цифрийг ашиглан цифр давтагдаагүй $3$ оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?
Бодолт
Эхний цифрийг $3$ янзаар сонгож болох ба дараагийн цифрийг $2$ янзаар, сүүлийн цифрийг $1$ янзаар сонгоно. Иймд, эдгээр цифрүүдээр цифр давтагдаагүй $3$ оронтой тоо зохиох боломжийн тоо нь $$3\times2\times1=6$$ байна.
Модны схемээр дүрсэлж үзүүлвэл
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
5 Зургийг ажиглаад $A$ оройтой хэдэн өнцөг байгааг тоолоорой.
Бодолт
$B$ цацрагтай хослох $4$ цацраг тус бүрд $1$ өнцөг үүснэ. $C$-тэй хослох, өмнөхөөс өөр $3$ өнцөг, $D$-тэй хослох өмнөхүүдээс өөр $2$ өнцөг, эцэст $EAF$ гэсэн дахин $1$ өнцөг үүснэ. Нийтдээ $$4+3+2+1=10$$ өнцөг үүснэ.
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
6 Батад улаан ба цэнхэр өнгийн харандаа, бал нийлээд $16$ ширхэг байв. Улаан өнгийн харандаа, бал нийлээд $7$ байсан бөгөөд бал $5$ ширхэг байсны $2$ нь улаан гэж мэдэгдэж байв. Тэгвэл хэдэн цэнхэр харандаатай вэ?
Бодолт
Бодлогын өгөгдлийг дараах хүснэгтэд тэмдэглэвэл
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
&\mbox{Харандаа}&\quad\mbox{Бал}\quad&\mbox{Нийт}\\ \hline
\mbox{Улаан}&&2&7\\\hline
\mbox{Цэнхэр}&&&\\\hline
\mbox{Нийт}&&5&16\\ \hline
\end{array}$$
болно. $4$ дэх баганаас цэнхэр өнгийн харандаа, бал нийтдээ $$16-7=9$$ гэж олдоно. $3$ дахь баганаас цэнхэр өнгийн бал $5-2=3$ гэж олдох тул цэнхэр өнцгийн харандаа $$6-3=6\mbox{ байна.}$$ Хүснэгтээ бүхэлд нь бөглөвөл
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
&\mbox{Харандаа}&\quad\mbox{Бал}\quad&\mbox{Нийт}\\ \hline
\mbox{Улаан}&{\color{red}5}&2&7\\\hline
\mbox{Цэнхэр}&{\color{red}6}&{\color{red}3}&{\color{red}9}\\\hline
\mbox{Нийт}&{\color{red}11}&5&16\\ \hline
\end{array}$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
7 $10-20$-н хоорондох $4$-т хуваагддаг тоонуудын олонлог ба $4-18$-н хоорондох $6$-р хуваагддаг тоонуудын олонлогуудын огтлолцол хэдэн элементтэй вэ?
Бодолт
Эхний олонлог $$\{12,\ 16,\ 20\}$$ байна, харин хоёр дахь олонлог
$$\{6,\ 12,\ 18\}$$ байна. Энэ хоёр олонлогийн огтлолцол буюу хоёр олонлогт хоёуланд нь зэрэг харьяалагдах элемент нь зөвхөн $\{12\}$ байна.
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
8 Усан онгоц голын урсгал дагуу $180$км замыг $3$ цагт явдаг ба голын урсгалын хурд $5$км/ц бол буцахдаа хэдэн цаг зарцуулах вэ?
Бодолт
Уруудахад $1$ цагт $180:3=60$км явна. Үүнээс урсгалын хурдыг хасвал $60-5=55$км/цаг нь тогтмол усанд явах хурд нь болно. Иймд буцахдаа $$\dfrac{180}{55-5}=\dfrac{180}{50}=3.6\mbox{цаг}$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
9 Дараах зургаас $AB:BD$ харьцааг олоорой.
Бодолт
$AED$, $ABE$ ба $EBD$ гурвалжнууд төсөөтэй. Иймд $$\dfrac{AB}{BE}=\dfrac{EB}{BD}=\dfrac{AE}{ED}=\dfrac68$$ Эндээс $$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AB}{BE}\cdot\dfrac{BE}{BD}=\dfrac34\cdot\dfrac34=\dfrac9{16}.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
10 $ABC$ гурвалжны талбайг олоорой.
Бодолт
Дараах зурагт зурагдсан тэгш өнцөгтийн талбайгаас будагдсан хэсгүүдийн талбайг хасвал $ABC$ гурвалжны талбай гарна.
Тэгш өнцөгтийн талбай нь $$4\times6=24$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
11 $\dfrac{\sqrt[4]{6-3\sqrt3}\sqrt[4]{6+3\sqrt3}}{\sqrt{\dfrac13}}$ тооцоол.
Бодолт
Хүртвэрийг хувиргая. $\sqrt[4]{6-3\sqrt3}\sqrt[4]{6+3\sqrt3}=$
$$=\sqrt[4]{6^2-(3\sqrt3)^2}=\sqrt[4]{36-27}=\sqrt[4]9=\sqrt3.$$
Эндээс $\sqrt3:\sqrt{\dfrac13}=\sqrt3\cdot\sqrt3=3.$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
12 $f(x)=\begin{cases}x+1,x\le1\\ 3-x, x>1\end{cases}$ функц өгөгдсөн бол $f(f(2))$ утгыг ол.
Бодолт
Эхлээд $f(2)$-г ольё. $x_0=2>1$ учир $f(x_0)=3-x_0$ буюу $f(2)=3-2=1$ юм. Иймд $f(f(2))=f(1)$-г олох ёстой. $x_1=1\le1$ учир $f(x_1)=x_1+1$ буюу $f(1)=1+1=2$.
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
13 $A=\begin{vmatrix}
2&3\\1&5
\end{vmatrix}$ ба $f(x)=x^2-2x+3$ бол $f(A)$-н утгыг ол.
Бодолт
Эхлээд тодорхойлогчоо олвол $$A=\begin{vmatrix}
2&3\\1&5
\end{vmatrix}=2\cdot5-1\cdot3=7$$ байна. Иймд $$f(A)=f(7)=$$
$$=7^2-2\cdot7+3=$$
$$=49-14+3=38.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
14 $x\ge3\sqrt x+4$ тэнцэтгэл бишийг бод.
Бодолт
Тодорхойлогдох муж $x\ge0$ бөгөөд $a=\sqrt x\ge0$ гэж орлуулвал
$$a^2-3a-4\ge0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow (a+1)(a-4)\ge0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow a\ge4\Rightarrow \sqrt x\ge4\Rightarrow$$
$$\Rightarrow x\ge16.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
15 Өсөх геометр прогрессийн эхний дөрвөн гишүүний нийлбэр $120$ ба $b_1+b_3=6$ бол уг прогрессийн хуваарийг ол.
Бодолт
Хоёр дахь нөхцөлөөс $$b_1+b_3=$$
$$=b_1(1+q^2)=6$$
Эхний нөхцөлөөс $$120=b_1(1+q+q^2+q^3)=$$
$$=b_1(1+q^2)+b_1q(1+q^2)=$$
$$=6+6q=120\Rightarrow q=19.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
16 $y=(3x+1)^2$ функцийн графикийн $x_0=-1$ цэгт татсан шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Бодолт
$y'=6(3x+1)$ тул шүргэгчийн налалт нь $y'(-1)=-12$ байна. Тэгшитгэлээ бичвэл
$$y=-12(x+1)+4=$$
$$=-12x-8.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
17 Дараах зурагт үзүүлснээр натурал $n$ тооны хувьд $n\times n$ хэмжээст квадратын зангилааны цэгүүдийг холбосон $1$ урттай хэрчмүүдийн тоогоор $\{a_n\}$ дараалал үүсгэе. $a_0=0$, $a_1=4$, $a_2=12$ гэх мэт үргэлжлэнэ. Тэгвэл $\{a_n\}$ дарааллын ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
Бодолт
$n\times n$ квадратын хувьд хөндлөн хэрчмүүдийн тоо $n(n+1)$ байх нь ойлгомжтой бөгөөд энэ тоо босоо хэрчмүүдийн хувьд ч ижил байна. Иймд $$a_n=2n(n+1)$$ байна.
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
18 $x$-ээс хамаарсан $y$ функц нь $$\begin{cases}y=t^2+3t+1\\ x=2t+1\end{cases}$$ параметрт тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон байв. Уг функцийн графикийн дурын цэгт татсан шүргэгч шулууны налалтыг $t$-ээр илэрхийлж ол.
Бодолт
Шүргэгч шулууны налалт нь тухайн цэг дээрх функцийн уламжлалтай тэнцүү байдаг учир $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}:\dfrac{dx}{dt}=$$
$$=\dfrac{(t^2+3t+1)_t'}{(2t+1)'_t}=$$
$$=\dfrac{2t+3}2$$ байна.
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
19 $3\mbox{tg}\dfrac{107\pi}6+4\sin\dfrac{37\pi}3$ илэрхийллийн утга.
Бодолт
Тангенс функц $\pi$ үетэй, синус функц $2\pi$ үетэй. Иймд,
$$3\mbox{tg}\dfrac{107\pi}6+4\sin\dfrac{37\pi}3=$$
$$=3\mbox{tg}\left(17\pi+\dfrac{5\pi}6\right)+4\sin\left(12\pi+\dfrac{\pi}3\right)=$$
$$=3\mbox{tg}\dfrac{5\pi}6+4\sin\dfrac{\pi}3=$$
$$=-3\cdot\dfrac1{\sqrt3}+4\cdot\dfrac{\sqrt3}2=\sqrt3.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
20 $\log_{\sqrt2}2$ илэрхийллийн утгыг ол.
Бодолт
$$\log_{\sqrt2}2=\log_{2^\frac12}2=$$
$$=2\cdot\log_22=2.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
1 Дараах диаграммаар өгөгдсөн өгөгдлийн далайц $\fbox{a}$, дундаж $\approx\fbox{b.cd}$, медиан $\fbox{e}$ байна.
оноо: 5
Бодолт
Өгөгдлийн далайц нь $9-1=8$ байх нь ойлгомжтой. Одоо давтамжийн хүснэгтийг байгуулъя.
$$\begin{array}{ccc}\hline
\mbox{Утга}&\mbox{Давтамж}&f\cdot x\\ \hline
1&8&8\\\hline
2&10&20\\\hline
3&12&36\\\hline
4&12&48\\\hline
5&4&20\\\hline
6&6&36\\\hline
7&4&28\\\hline
8&8&64\\\hline
9&2&18\\\hline
\mbox{нийт}&66&278
\end{array}$$
Нийт өгөгдлийн тоо $n=66$ тул медиан нь $$\dfrac{n+1}2=\dfrac{67}2=33.5$$ буюу $33,\ 34$ дугаартай гишүүдийн дундаж байх ёстой. Тэр нь $$\dfrac{4+4}2=4\mbox{ байна.}$$
Дундаж нь $$\dfrac{278}{66}=4.(21)\approx4.21$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
2 $f(x)=x\cdot e^{-3x}$ функцийн хувьд $$f_{\max}=f\left(\dfrac{\fbox a}{\fbox b}\right)=\dfrac1{\fbox c\cdot e}$$ байна. Энд $(\fbox a;\fbox b)=1$.
оноо: 5
Бодолт
Функцийн уламжлал нь $$f'(x)=e^{-3x}-3xe^{-3x}$$ тул $$e^{-3x}-3xe^{-3x}=0\Rightarrow x=\dfrac13$$ гэсэн ганц сэжигтэй цэг гарна. Энэ нь максимумын цэг байхыг шалгахад амархан бөгөөд
$$f_{\max}=f\left(\dfrac13\right)=\dfrac1{3e}$$ байна.
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
3 Дараалсан сондгой тоонуудын квадратуудын нийлбэр $970$ гэж өгчээ. Эхний тоог $k$ гэвэл дараагийн тоо $k+\fbox a$ бөгөөд эдгээрийн квадратуудын нийлбэр $$\fbox b k^2+\fbox c k+\fbox d$$ болно. Үүнийг $970$-тай тэнцүүлээд бодвол $k=\fbox{ef}$ гэж гарна. оноо: 5
Бодолт
Эхний тоог $k$ гэвэл дараагийн тоо $k+2$ бөгөөд эдгээрийн квадратуудын нийлбэр $$2k^2+4k+4$$ болно. Үүнийг $970$-тай тэнцүүлээд бодвол
$$2k^2+4k+4=970\Rightarrow$$
$$\Rightarrow k^2+2k-483=0\Rightarrow$$
$$\Rightarrow k=21$$ гэж гарна.
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
4 $z_1=2-2i$, $z_2=\sqrt3+i$, $z_3=a+bi,\ a,b\in\mathbb R$ тоонууд өгөгдөв.
а) Хэрэв $|z_1z_3|=16$ бол $$|z_3|=\fbox a\sqrt{\fbox b}\mbox{ байна.}$$
б) $\arg\left(\dfrac{z_3}{z_2}\right)=\dfrac{7\pi}{12}$ бол $$\arg z_3=\dfrac{\fbox c\pi}{\fbox d}$$
в) $\dfrac{z_3}{z_1}=-2$ бол $a=-\fbox e$, $b=\fbox f$ байна.
оноо: 6
Бодолт
a) $|z_1|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$ тул $$|z_1z_3|=|z_1||z_3|=16\Rightarrow$$
$$\Rightarrow |z_3|=4\sqrt2.$$
б) $\arg z_2=\dfrac\pi3$ тул $$\arg z_3-\dfrac\pi6=\dfrac{7\pi}{12}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow
\arg z_3=\dfrac{7\pi}{12}+\dfrac\pi6=\dfrac{3\pi}4.$$
в) $\dfrac{z_3}{z_1}=-2\Rightarrow z_3=-2z_1$. Өөрөөр хэлбэл,
$$a+bi=-4+4i\Rightarrow$$
$$\Rightarrow a=-4,\ b=4.$$
Бодолтоо ойлгосон бол төстэй бодлогоор мэдлэгээ бататгаарай
БОДЛОГО
