Модул буюу абсолют хэмжигдэхүүний тодорхойлолт. $$\color{red}{|a|=\left\{\begin{array}{rr} a,& a\ge0\\ -a,&a< 0\end{array} \right.}$$ байна. Өөрөөр хэлбэл, модулын доторх тоо (илэрхийлэл) эерэг утгатай байвал модулын утга нь доторх тоотойгоо ижил гарна. Харин, модулын доторх илэрхийлэл сөрөг утгатай байвал урд нь хасах тэмдэг тавиад $-\cdot-=+$ дүрмийн дагуу эерэг болгож модулиас гаргана.$$-3\cdot\underbrace{|-2|}_{2}+3\cdot\underbrace{|11|}_{11}+4\cdot\underbrace{|-9|}_{9}=$$ $$=-3\cdot2+3\cdot11+4\cdot9=$$ $$=-6+33+36=63.$$

Эхлээд модулын доторх илэрхийллийг эерэг үү? эсвэл сөрөг үү? гэдгийг мэдэх шаардлагатай. Ингэхийн тулд $11$ ба $2\sqrt{39}$ тоонуудыг жишнэ. Энэ хоёрыг квадрат зэрэг дэвшүүлвэл $$\underbrace{11^2}_{121}<\underbrace{(2\sqrt{39})^2}_{156} $$ буюу $$11-2\sqrt{39}< 0$$ байна. Хэрвээ $\color{red}{a< 0}$ байвал $\color{red}{|a|=-a}$ байдаг. Иймд $$\left|11-2\sqrt{39}\right|=-(11-2\sqrt{39})=$$ $$=2\sqrt{39}-11$$байна.

Дараалсан сондгой тоонууд тул $b=a+2$, $c=b+2=a+4$ байна. Иймд $$\dfrac{(\overbrace{a - b}^{-2}) \cdot (\overbrace{c - a}^{-4})}{(\underbrace{b - c}_{-2})}=\dfrac{-2\cdot4}{-2}=4.$$

$$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{128}}+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{\sqrt{3^2\cdot8}}{\sqrt{4^2\cdot8}}+\dfrac{1^2}{4^2}=$$ $$=\dfrac{3\sqrt{8}}{4\sqrt{8}}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{13}{16}.$$

$88=81+7$ тул салгаж бичээд $\color{blue}{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$ томьёог ашиглая. $$\sqrt{\color{red}{88}+18\sqrt{7}}=$$ $$=\sqrt{\color{red}{9^2}+2\cdot9\cdot\sqrt{7}+\color{red}{\sqrt{7}^2}}=$$ $$=\sqrt{(9+\sqrt{7})^2}=|9+\sqrt{7}|$$ бөгөөд $9+\sqrt{7}>0$ тул $$|9+\sqrt{7}|=9+\sqrt{7}$$ байна.

Бутархайн хүртвэр ба хуваарийг $(\sqrt{6} + \sqrt{3})$-н хосмогоор буюу $\color{red}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$-р үржүүлье. $$\dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}\cdot\color{red}{\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}}=$$ $$\dfrac{1\cdot(\color{red}{\sqrt{6} - \sqrt{3}})}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})\cdot\color{red}{(\sqrt{6} - \sqrt{3})}}=(*)$$ Квадратуудын ялгаврын $\color{blue}{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}$ томьёогоор хуваарийг эмхтгээд $$(*)=\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6}^2 - \sqrt{3}^2}=\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{6-3}=$$ $$=\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$$ болно.

Иймд $$0.0095=9.5\cdot 10^{-3}$$ болно.

$$1 км=\underbrace{1000}_{10^3}\mbox{м}=10^3\cdot\underbrace{100\mbox{см}}_{\mbox{м}}=10^5\mbox{см}$$ Эндээс хоёр хотын хоорондох зайг сантиметрээр илэрхийлвэл $$406\mbox{км}=40600000\mbox{см}$$ болно. Одоо масштабаар хувиргая. $$\dfrac{40600000}{15000000}=\dfrac{203}{75}\approx2.71\mbox{см}$$

$1\mbox{м}=100\mbox{см}$ тул талуудын урт нь сантиметрээр $$47\mbox{м}=4700\mbox{cм}$$ $$22\mbox{м}=2200\mbox{cм}$$ байна. Эдгээрийг $1:100$ масштабаар хувиргавал урт, өргөн нь харгалзан $$\dfrac{4700}{100}=47\mbox{см},\ \dfrac{2200}{100}=22\mbox{см}$$ болно. Эндээс тэгш өнцөгтийн талбай нь $$47\mbox{см}\cdot 22\mbox{см}=1034\mbox{см}^2$$

$\dfrac a{2}=\dfrac b{8}=\dfrac c{7}=\color{red}{k}$ гэж тэмдэглэвэл $a=2\color{red}{k}$, $b=8\color{red}{k}$, $c=7\color{red}{k}$ байна. Үүнийг хоёр дахь тэнцэтгэлд орлуулвал $$-5a+6b-8c=$$ $$=-5\cdot2\color{red}{k}+6\cdot8\color{red}{k}-8\cdot7\color{red}{k}=$$ $$=-18\color{red}{k}= -54 \Rightarrow \color{red}{k}=3$$ гэж олдоно. Эндээс $$a=2\color{red}{k}=2\cdot\color{red}{3}=6$$ $$b=8\color{red}{k}=8\cdot\color{red}{3}=24$$ $$c=7\color{red}{k}=7\cdot\color{red}{3}=21$$

Уг тооны хамгийн бага утга нь $96.215$, хамгийн их утга нь $96.224$