Та бүртгүүлж, хэрэглэгч болоод сорилууд ажиллавал ямар бодлого дээр алдсан, ямар бодлогыг зөв бодсон болохыг харуулдаг систем ажиллана. Мөн бусад сорилуудад оролцох боломжтой болно.
1 Хоёр хотын хоорондох $911$ км зайг $1:10000000$ масштабтай газрын зурагт хэдэн см-ээр зурах вэ?
2 $a,b$ бүхэл тоонуудын хувьд $7\mid(3a+2b)$ ба $7\mid(2a-3b)$ бол $7\mid a$ ба $7\mid b$ болохыг батал.
3 Дурын сондгой бүхэл тоог $2k+1$ хэлбэрээр бичиж болохыг харуул.
4 Нэг бүхэл тоог $6$-д хуваахад $5$ үлддэг бол уг тооны квадратыг $6$-д хуваахад хэд үлдэх вэ?
5 $5$-аас багагүй анхны тоог $6$-д хуваахад $1$ эсвэл $5$ үлдэхийг батал.
6 $3m+2,\ m\in\mathbb N$ хэлбэрийн тоонууд бүхэл тооны квадрат болохгүйг батал.
7 $2^{2^n}+1,\ n\ge2$ хэлбэрийн тоонууд $7$-р төгсөхийг батал.
8 Талууд нь натурал тоогоор илэрхийлэгдэх тэгш өнцөгт гурвалжны ядаж нэг катетын урт $3$-т хуваагдахыг батал.
9 $2^{20}-1$ тоо $31$-д хуваагдахыг батал.
10 Хэрэв $2^n-1$ анхны тоо бол $n$ мөн анхны тоо байхыг батал.
11 $4^n+15n-1,\ n\in\mathbb N$ хэлбэрийн тоонууд $9$-д хуваагдахыг батал.
12 $\dfrac{2n}{2n^2+1}$ хэлбэрийн бутархай нь үет аравтын бутархай байхыг батал.
13 $37$-г $6$-д хуваахад гарах ноогдвор болон үлдэгдлийг ол.
14 $a$ тоог $9$-д хуваахад $7$ үлддэг бол $a+2$ тоо $9$-д хуваагдана гэдгийг батал.
15 Уйдсан хорин сурагч $1$-ээс $20$ хүртэл дугаарласан хаалттай шүүгээнүүд эгнүүлэн тавьсан коридориор дараалан алхацгаажээ. Эхний сурагч бүх шүүгээг нээсэн. Хоёр дахь сурагч $2$, $4$, $6$,..., $20$ дугаартай бүх шүүгээг хаасан. Гурав дахь сурагч $3$, $6$, $9$,..., $18$ дугаартай шүүгээнүүд дээр дараах үйлдэл хийсэн. Хэрэв шүүгээ хаалттай байвал тэр нээж, нээлттэй байвал хаана. Энэ мэтээр үргэлжилнэ. $i$ дэх сурагчийн хувьд $i$-д хуваагдах дугаартай шүүгээнүүдийг хаалттай байвал нээж, нээлттэй байвал хаана. Бүх сурагчид алхаж дууссаны дараа хэдэн шүүгээ нээлттэй үлдэх вэ?
16 Дурын сондгой тооны квадрат $8$-д хуваахад $1$ үлдэнэ гэдгийг батал.
17 $n^3-n$ нь дурын $n\in\mathbb Z$ тооны хувьд $6$-д хуваагдана гэдгийг батал.
18 $5\mid m^5-m$ гэж батал.
19 $2^{4^n}-5,\ n\in\mathbb N$ хэлбэрийн тоонууд $1$-ээр төгсөхийг батал.
20 Бүхэл пифагорын гурвалын ядаж нэг нь $5$-д хуваагдахыг батал.
21 Цифрүүдийн нийлбэр нь тэнцүү байдаг хоёр тооны ялгавар $9$-д хуваагдахыг батал.
22 $10^n+18n-1$ хэлбэрийн тоонууд $27$-д хуваагдахыг батал.
23 $3^{2n+3}+40n-27$ хэлбэрийн тоонууд $64$-д хуваагдахыг батал.
24 $\dfrac{n+1}{n^2+n+1}$ хэлбэрийн бутархай үет аравтын бутархай байна гэж батал.
25 Гурван оронтой хоёр тооны нийлбэр $37$-д хуваагддаг бол энэ хоёр тооны нэгийг нь нөгөөгийнх нь араас залгуулан бичихэд үүсэн зургаан оронтой тоо $37$-д хуваагдахыг батал.
26 $n$ нь 1-ээс их бүхэл тоо байг. Дараах өгүүлбэрүүдийг батал. (а) $2^n$ нь дараалсан хоёр сондгой бүхэл тооны нийлбэр болно; (б) $3^n$ нь дараалсан гурван бүхэл тооны нийлбэр болно.
27 Дараах өгүүлбэрүүдийг батал.$$k(k^2+5)\vdots6,$$$$a(a+1)(2a+1)\vdots6$$
28 $n$ нь эерэг бүхэл тоо байг. $3^{2^n} + 1$ нь 2-т хуваагдах боловч 4-т хуваагдахгүй гэдгийг батал.
29 $k$ нь тэгш тоо байг. $1$-ийг $k$ ширхэг сондгой тооны урвуу тоонуудын нийлбэр хэлбэртэйгээр бичих боломжтой юу?
30 Батаа $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ олонлогоос таван тоо сонгон авчээ. Хэрэв тэр Доржид сонгосон тоонуудынхаа үржвэрийг хэлсэн ч, Доржийн хувьд сонгогдсон тоонуудын нийлбэр нь тэгш үү? эсвэл сондгой юу? гэдгийг таахад мэдээлэл хангалтгүй байв. Сонгосон таван тооны үржвэрийг ол.
31 $a$ зохиомол тоо бол түүний хамгийн бага анхны тоон хуваагч нь $\sqrt a$-с хэтрэхгүйг батал.
32 $97$, $919$, $203$ тоонууд анхны тоо мөн үү?
33 $\mathbb N\ni n\ge2$ бол $n$ ба $n!$ тоонуудын хооронд ядаж нэг анхны тоо байгаа гэж батал.
34 Дараалсан $26$ зохиомол тоо бич.
35 $n$, $n+10$, $n+14$ тоонууд бүгд анхны тоо байх натурал $n$-н утгыг олоорой.
36 $2p^2+1$ тоог анхны байлгах $p$ анхны тоог ол.
37 Дараалсан $n$ ширхэг зохиомол тоо байх уу? Байдаг бол бичээрэй.
38 $4p^2+1$ ба $6p^2+1$ тоонуудыг анхны байлгах $p$ гэсэн анхны тоог ол.
39 Дараах тоонууд нэгэн зэрэг анхны тоо байж чадахгүйг батал.
- $p>0$ бол $p+5$ ба $p+10$;
- $p$, $p+2$ ба $p+5$;
40 $n>2$ бол $2^n-1$ ба $2^n+1$ хоёр тоо нэгэн зэрэг анхны тоо байх боломжгүйг батал.
41 $3n-4$, $4n-5$ болон $5n-3$ тоонууд бүгд анхны тоо байх бүх эерэг бүхэл $n$ тоог ол.
42 $p$ ба $q$ нь анхны тоонууд бөгөөд $x^2-px+q=0$ тэгшитгэл нь хоорондоо ялгаатай эерэг бүхэл тоон язгууруудтай бол $p$ ба $q$-ийг ол.
43 Хэрэв $p$ ба $8p^2+1$ тоонууд анхны бол
$8p^2+2p+1$ мөн анхны тоо байхыг батал.
44 $3$, $5$, $7$ нь цорын ганц ихэр-анхны тоон гурвал
(ө.х. $2$ гэсэн ялгавартай арифметик прогресс үүсгэдэг гурвал) болохыг батал.
45 Анхны тооны хүснэгт ашиглан $p_1p_2\cdots p_n+1
$ хэлбэрийн тоонууд зохиомол байх $n$-ийн хамгийн бага утгыг ол. Энд $p_i$ нь $2$-оос эхлэн өсөх дарааллаар бичсэн анхны тоонууд.
46 Анхны тоонууд төгсгөлгүй олон гэж батал.
47 $3n+2,\ (n=1,2,\ldots)$ хэлбэртэй хамгийн их анхны тоо оршдоггүйг батал.
48 Анхны гишүүн нь $7$-той, ялгавар нь $4$-тэй тэнцүү
арифметик прогресс нь төгсгөлгүй олон анхны тоон гишүүдтэйг батал.
49 $n$-ээс хэтэрдэггүй $(n>2)$ анхны тоонуудын үржвэр
$n$-ээс их тоо байхыг батал.
50 $p_i$ $(i=1,2,\ldots,n+1)$ нь эхний $n+1$ ширхэг анхны тоо бол $p_{n+1}< p_1p_2\cdots p_n$ байхыг батал.
51 Хэрэв $p_n$ нь $n$-р анхны тоо
$(p_1=2,\ p_2=3,\ldots)$ бол $p_n\leq 2^{2^{n-1}}$
байхыг математик индукцийн аргаар батал. (зөвхөн $n=1$ үед л тэнцэтгэл болно.)
52 $p_n>2n,\ (n=5,6,\ldots)$ гэдгийг батал.
53 $19.085-15.39$ хасаарай.
